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\begin{document}
  \pagenumbering{Roman}
  \setcounter{page}{1}
  \title{Physik-Formelsammlung für Theo~B\\{\small Version 0.2}}
  \author{Michael "`Serpedon"' Walz}
  \date{Sommersemester 2007}
  \maketitle
  %\newpage
  \tableofcontents
  
\bigskip \noindent Diese Formelsammlung wurde während der Vorbereitung auf die Klausur der Theoretischen \mbox{Physik B} an der Universität Karlsruhe erstellt und erhebt keine Anspruch auf Vollständigkeit oder Korrektheit. Anmerkungen und Ergänzungen sind immer gerne gesehen: http://serpedon.de
  \newpage
  \pagenumbering{arabic}
  \setcounter{page}{1}

\newSection{Zwangbedingungen}
\begin{description}
 \item[Holonome] Zwangsbedingungen lassen sich in der folgenden Form schreiben: \[f(\vec r_1,...,\vec r_N,t)=0\]
 \item[Skleronome] Zwangsbedingungen sind zeit\emph{un}abhängig.
 \item[Rheonome] Zwangsbedingungen sind zeitabhängig.
\end{description}

\newSection{D'Alembert-Prinzip}
Das D'Alembert-Prinzip (oft auch Prinzip der \emph{virtuellen Verrückungen} genannt) lautet:
\myBox{\sum_i\left(m_i \ddot{\vec{r}}_i - \vec{F}_i\right)\mal \delta\vec{r}_i = 0}
Die Verrückung erfolgt bei konstanter Zeit $t$.

\newSection{Lagrangeformalismus}
\newSubSection{Lagrangefunktion mit skalares Potential $V$}
\[ \L=T-V \]
\newSubSection{Lagrangefunktion mit Vektorpotential $\vec A$ für $B$-Felder}
\myBox{\L=T-q\mal\Phi+q\mal\vec{A}\mal\dot{\vec{r}}}
Die 2. Maxwell'sche Gleichung lautet :
\[ \vec\nabla\times\vec E + \dfrac{\vec B}{t} = 0 = \vec\nabla\times\left(\vec E + \dfrac{\vec A}{t}\right)\]
\[ \Rightarrow \exists \Phi: \qquad -\vec\nabla\,\Phi = \vec E + \dfrac{\vec A}{t} \]
Wenn das Vektorpotential $\vec A$ zeitabhängig ist, so hängt das elektrische Potential $\Phi$ von $\vec A$ ab.

\newSubSection{Lagrange'sche Bewegungsgleichungen}
\[ \frac{d}{dt} \frac{\dell\L} {\dell \dot{q}_k} - \frac{\dell\L}{\dell q_k} = 0\]
\newSubSection{Lagrange-Multiplikatoren}
Wenn die Zwangsbedingung $Z(\vec{q},t)=0$ lautet, gilt für den Lagrange-Multiplikator $\lambda$:
\[ \L' = \L + \lambda\mal Z \]
\newSubSubSection{Generalisierte Kräfte}
Der Zusammenhang zwischen den generalisierten Kräfte $\vec{Q}$, den physikalischen Kräften $\vec{F}$ und dem Lagrange-Multiplikator $\lambda$ ist:
\myBox{Q_k = \lambda \mal \frac{\dell Z}{\dell q_k} = \vec{F} \mal \frac{\dell \vec{r}}{\dell q_k}}

\newSubSubSection{Geschwindigkeitsabhängige Potentiale}
Normalerweise lassen sich die generalisierten Kräfte als $Q_k= -\dfrac{V}{q_k}$ darstellen. Wenn sich die generalisierten Kräfte in der Form \myBox{Q_k = - \dfrac{U}{q_k} + \ddfrac{}{t} \dfrac{U}{\dot{q}_k}}
darstellen lassen, so können wir in der Lagrangefunktion $\L = T - V$ einfach $V = U$ setzen.

\newSection{Variationsproblem}
Ist ein Funktional $J$ gegeben, das jeder Funktion $\F(\vec{y},\vec{y'},x)$ einen Wert zuordnet,
\[J[\F] = \int_{x_1}^{x_2}\F(\vec{y},\vec{y'},x) dx \]
so ist $J$ extremal, wenn $\F$ die Euler-Lagrange-Gleichung erfüllt:
\[\delta J = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{d}{dx} \frac{\dell\F} {\dell {y}_k'} - \frac{\dell\F}{\dell y_k} = 0 \quad \forall k\]
Hierbei hat man entweder feste Randwerte gegeben, \[\vec{y}(x_1) = \vec{y}_1 = \mbox{const.} \qquad \vec{y}(x_2) = \vec{y}_2 = \mbox{const.}\]
oder die partiellen Ableitung am Rand müssen verschwinden:
\[\dfrac{\F}{{y}_k'}\left(\vec{y}(x_1), {\vec{y'}}(x_1), x_1\right) = 0\]
\[\dfrac{\F}{{y}_k'}\left(\vec{y}(x_2), {\vec{y'}}(x_2), x_2\right) = 0\]
\newSubSection{Nebenbedingungen}
Soll $J$ extremal werden, aber die Nebenbedingung $G(\vec{y},x) = 0$ beachtet werden, so wendet man die Methode der Lagrange-Multiplikatoren an:
\[ \F' = \F + \lambda\mal G\]

\newSubSection{Hamiltonsches Prinzip}
Das allgemeine Variationsproblem geht in den Lagrangeformalismus über für
\begin{eqnarray*}
 \F & \rightarrow \quad \L \qquad \qquad J & \rightarrow \quad S \qquad \qquad G \quad \rightarrow \quad Z \\
 \vec{y} & \rightarrow \quad \vec{q} \qquad \qquad x & \rightarrow \quad t
\end{eqnarray*}

Dies nennt man \emph{Hamiltonsches Prinzip}. Es fordert, dass das Wirkungsfunktional $S$ stationär ist:
\[\delta S=0 \qquad S = \int_{t_1}^{t_2} \L(\vec{q},\dot{\vec{q}},t) dt\]


\newSection{Erhaltungsgrößen}
\newSubSection{Kanonische Impulse}
Der \emph{kanonische Impuls} $p$ (auch \emph{verallgemeinerte Impuls}) zu einer Koordinate $q_k$ ist erhalten, wenn $q_k$ zyklisch ist:
\[ p_{q_k} = \dfrac{\L}{\dot{q}_k} \quad \mbox{erhalten} \qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{\L}{q_k}=0 \qquad\Leftrightarrow\qquad \mbox{$q_k$ ist zyklisch}\]

\newSubSubSection{Begründung}
\[ \ddfrac{}{t}\underbrace{\dfrac{\L}{\dot{q}_k}}_{p_{q_k}} = \dfrac{\L}{q_k} \]

\newSubSection{Hamiltonfunktion}
Die Hamiltonfunktion ist erhalten, wenn die Lagrangefunktion nicht von der Zeit abhängt:
\[ \H = \sum_k{\dfrac{\L}{\dot{q}_k} \dot{q}_k} - \L \quad \mbox{erhalten} \qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{\L}{t}=0\]
\newSubSubSection{Begründung}
\label{Hamiltonerhaltung}
\begin{eqnarray*}
 \ddfrac{}{t}\H &=& \sum_k{\left(\ddfrac{}{t}\dfrac{\L}{\dot{q}_k}\right) \dot{q_k}} + \sum_k{\dfrac{\L}{\dot{q}_k} \ddfrac{}{t}\dot{q_k}} \underbrace{- \ddfrac{}{t}\L}_{-\sum{\dfrac{\L}{q_k}\dot{q}_k} - \sum{\dfrac{\L}{\dot{q}_k}\ddfrac{}{t}\dot{q}_k} - \dfrac{\L}{t}}\\
 &=& \sum_k{\dot{q}_k\left(\underbrace{\ddfrac{}{t}\dfrac{\L}{\dot{q}_k}-\dfrac{\L}{q_k}}_{=0}\right)} - \dfrac{\L}{t} = - \dfrac{\L}{t}
\end{eqnarray*}

\newSubSection{Noethertheorem}
Gilt für eine Transformation $t\rightarrow t^*(\vec{q}_k,\dot{\vec{q}}_k,t)$, $q_k\rightarrow q_k^*(\vec{q}_k,\dot{\vec{q}}_k,t)$ die Invarianzbedingung \myBox{\dfrac{}{\epsilon}\left[\L\left(\vec{q^*},\ddfrac{\vec{q^*}}{t^*},t^*\right)\ddfrac{t^*}{t}\right]_{\epsilon=0} = \ddfrac{}{t} f(\vec{q},t)}
so ist die Noetherladung $Q$ erhalten: \myBox{Q=\sum_k \dfrac{\L}{\dot{q}_k}\Psi_k - \underbrace{\left(\sum_k{\dfrac{\L}{\dot{q}_k} \dot{q}_k} - \L\right)}_{\H}\varphi - f(\vec{q},t)}
Dabei sind die Funktionen $\varphi$ und $\Psi_k$ die partiellen Ableitungen der Transformationen nach dem kleinen Parameter $\epsilon$:
\[\varphi = \dfrac{}{\epsilon}t^*(\vec{q}_k,\dot{\vec{q}}_k,t) \]
\[\Psi_k = \dfrac{}{\epsilon}q_k^*(\vec{q}_k,\dot{\vec{q}}_k,t) \]

\newSubSubSection{Symmetrien}
  \begin{tabular}{r@{$\quad \rightarrow \quad$}l}
    Homogenität der Zeit & Energieerhaltung\\
    Homogenität des Raumes & Impulserhaltung\\
    Isotropie des Raums & Drehimpulserhaltung\\
  \end{tabular}
\newSection{Eulersche Gleichungen}
\myBox{\Theta_1\dot\omega_1+(\Theta_3-\Theta_2)\,\omega_2\omega_3 = M_1}

Die zweite und dritte Gleichung folgen aus der ersten durch zyklisches Vertauschen der Indizes.
{\small
\[\Theta_2\dot\omega_2+(\Theta_1-\Theta_3)\,\omega_3\omega_1 = M_2 \qquad \qquad 
  \Theta_3\dot\omega_3+(\Theta_2-\Theta_1)\,\omega_1\omega_2 = M_3\]
}

\newSection{Trägheitstensor}
\begin{eqnarray*}
\hat\Theta &=& \sum_k m_k
    \begin{pmatrix}
      y^2 +z^2 & -x y & -x z \\
      -y x & x^2 + z^2 & -y z \\
      -z x & -z y & x^2 + y^2 \\
    \end{pmatrix}\\
\\
&=&\sum_k m_k
  \underbrace{
    \begin{pmatrix}
      {r^2} - x^2 & -x y & -x z \\
      -y x & {r^2} - y^2 & -y z \\
      -z x & -z y & {r^2} - z^2 \\
    \end{pmatrix}
  }_{\mbox{alle Größen mit Indizes $k$}}
= \left(\sum_k m_k \left({r_k^2}\delta_{ij} - x_i^k x_j^k\right)\right)_{ij}
\end{eqnarray*}

\newSubSection{Drehimplus, Rotationsenergie}
\[ \vec{L} = \hat\Theta\mal\vec{\omega} \qquad \qquad T_{\mbox{rot}} = \frac{1}{2} \vec{\omega}^{\mbox{T}}\hat\Theta\,\vec{\omega} \]

\newSubSection{Steiner'scher Satz}
Ist $\Theta_S$ das Trägheitsmoment um eine Achse durch den Schwerpunkt $S$, so gilt für das Trägheitsmoment $\Theta_d$ um eine \emph{parallele} Achse im Abstand $d$:
\[\Theta_d = \Theta_S + M\mal d^2\]


\newSection{Hamiltonformalismus}
\label{Hamilton}
Im Hamiltonformalismus werden alle $\dot{q}_k$ durch die kanonischen Impulse $p_k$ ausgedrückt und wir erhalten doppelte so viele Gleichungen wie beim Lagrangeformalismus; dafür aber nur noch Differentialgleichungen 1.~Ordnung.

\[ p_k = \dfrac{\L}{\dot{q}_k} \qquad\qquad
  \H = \sum_k p_k \mal \dot{q_k}(\vec{q}, \vec{p}, t) - \L(\vec{q}, \dot{\vec{q}}(\vec{q}, \vec{p}, t),t) \]

\[  \dot{q}_k = \dfrac{H}{p_k} \qquad\qquad
  \dot{p}_k = - \dfrac{H}{q_k} \qquad\qquad
  \dfrac{\L}{t} = - \dfrac{H}{t} \]
\newSubSection{Erhaltungsgrößen}
Die Hamiltonfunktion $\H$ ist erhalten, wenn sie nicht von der Zeit $t$ abhängt.
\[ \H \quad \mbox{erhalten} \qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{\H}{t}=0\]

\newSubSubSection{Begründung}
\[ \ddfrac{}{t}\H \underbrace{=}_{\mbox{vgl. Punkt \ref{Hamiltonerhaltung}}} - \dfrac{\L}{t} \underbrace{=}_{\mbox{vgl. Punkt \ref{Hamilton}}} \dfrac{\H}{t}\]

\newSubSection{Prinzip der minimalen Kopplung}
\randNotiz{\emph{Wofür ist das gut?!? Weiß das jemand?!?}}{
In kartesichen Koordinaten gilt allgemein:
\[ \H = \frac{\vec{p}^2}{2m} + V(r) \]

\underline{Prinzip der minimalen Kopplung:}\\
In Gegenwart eines magnetischen Feldes ersetze $\vec p$ durch $\vec p - q\vec A$ in $\H$.
\[\vec p \quad \rightarrow \quad \vec p - q\vec A \qquad \mbox{$q$: Probeladung}\]}

\end{document}

