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% fuer Stichwortverzeichnis
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\rhead{für Vordiplomsprüfung in Höherer Mathematik}
\lhead{Formelsammlung von Michael Walz}
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\begin{document}
\begin{multicols}{3}%[titel][Abstand]
%http://de.wikibooks.org/wiki/LaTeX-W%C3%B6rterbuch:_in_Datei_schreiben
\raggedcolumns

\newcommand{\iHelp}[2]{\index{#1, \textbf{#2}}}
\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\tableofcontents
\newpage

\setcounter{section}{-1}
%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{Schreibweisen!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{Schreibweisen}
\begin{description}
  \item[\const:] const.
  \item[$\exists!\,x$:] Es existiert genau ein $x$
  %\item[\formelsammlung{n}:] Man schlage in den Formel und Hilfen zur Höheren Mathematik auf Seite n nach.
\end{description}

\subsec{Intervale}
\[ ]a,b[\, := (a,b) := \{ x\, |\, a < x < b \} \]
\[ [a,b]=\{x\,|\,a\leq x\leq b\} \]
Die Notationen können an den Rändern gemischt werden.

\subsec{Matrizen}
$A_{ij}$ meint die $i$-Zeile und die $j$-Spalte der Matrix $A$.\\*[1mm]
Ebenso meint $A\in\R^{(m,n)}=\R^{m\kreuz n}$ eine Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten.

%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{Aussagenlogik!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{Aussagenlogik}
\index{Logik|see {Aussagenlogik}}
Eine \emph{Aussage} ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist.

\subsec{Symbole}
\[\T{{Negation}: } \neg \qquad \T{{Äquivalenz}: } \leftrightarrow \quad \T{{Konjunktion} ({und}): } \bAnd\]
\[\T{{Implikation} ({wenn..., dann}): } \rightarrow \quad \T{{Disjunktion} ({oder}): } \bOr \]

\subsec{De Morgan'schen Gesetze}
\[   \begin{matrix} \neg {(a \wedge b)} = \neg{a} \vee \neg{b} \\ \neg {(a \vee b)} = \neg{a} \wedge \neg{b} \end{matrix} \quad\T{oder}\quad \begin{matrix} \overline{(a \wedge b)} = \overline{a} \vee \overline{b} \\ \overline{(a \vee b)} = \overline{a} \wedge \overline{b} \end{matrix}\]

%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{Mengen!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{Mengen}
Für jede Menge $M$ und jedes Objekt $x$ gilt
\[ \q{x \in M \qquad \T{{\scriptsize (exklusives)} oder} \qquad x\not\in M} \]

\subsec{Russellsche Antinomie}
Klasse aller Klassen, die sich nicht selbst als Element enthalten: $R :=\{x|x\notin x\}$ \hfill \mbox{$R$ ist in sich widersprüchlich}

\subsec{Symbole}
\w{Inklusion}: $U \subset O$ \quad $U$ ist Teilmenge von $O$.\\*[-1mm]
{\scriptsize (transitiv, reflexiv, \emph{nicht symmetrisch})}\\*
Differenz: $M \setminus N := M \cap \overline{N}$\\*
\w{Komplement}: $\complement_O\,U := O \setminus U \qquad \left( U \subset O \right)$\\*
$\underbrace{\T{\w{Disjunktive Vereinigung}}}_{\T{\w{Symmetrische Differenz}}}$: $ M \bigtriangleup N := (M \cup N) \setminus (M \cap N) $

\[ \q{\left(M_1 =\rule{0cm}{3.5mm} M_2\right) \stackrel{\T{Def}}{\longleftrightarrow} \left(\left(M_1 \subset M_2 \right)\rule{0cm}{3.5mm}\bAnd \left(M_2 \subset M_1 \right)\right)}\]

\w{Potenzmenge $\mathcal{P}$}$(M)$ := Menge aller Teilmengen von $M$

\subsec{De Morgan'sche Gesetze}
Für jede beliebige endliche, abzählbare oder auch nicht abzählbare Indexmenge $I$:
\[ \overline{\bigcap_{i \in I} M_i} = \bigcup_{i \in I} \overline{M_i} \quad \T{und} \quad \overline{\bigcup_{i \in I} M_i} = \bigcap_{i \in I} \overline{M_i} \]

\subsec{Leere Menge $\emptyset$}
\[ \T{Axiomatisch: }\qquad \begin{matrix}
x \in \emptyset \quad \T{ist stets falsch}\\
\emptyset \subset M \quad \T{ist stets wahr}
             \end{matrix} \qquad \qquad \]

%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{Funktionen!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\index{Abbildungen|see{Funktionen}}
\sec[Funktionen]{Funktionen/Abbildungen}
Eine Vorschrift $f$, die jedem Element $x\in X$ genau ein Element $y \in Y$ zuordnet, heißt Funktion/Abbildung von $X$ nach $Y$. \hfill \mbox{($X$, $Y$: Mengen)}
\[ f: X \to Y \qquad \T{\w{graph$(f)$}}:= \{ (x,y) \in (X \kreuz Y) |\, y = f(x) \}\]

\subsec{Gleichheit von Funktionen}
Die Funktion $f:X\to Y$, $g: U\to V$ sind gleich, falls
\[ X = U \quad \T{und} \quad f(x)=g(x) \quad \forall x \in X \]
$\T{Umkehrfunktion $f^{-1}$:}\qquad f^{-1} \circ f = \T{id} = f \circ f^{-1}$
\[  \left(f^{-1}\right	)^{-1} = f \qquad \qquad (f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1} \]

\subsec{Surjektivität und Injektivität}
$f: X\to Y$ heißt\dots\\*
\hspace*{5mm}$\dots \T{\emph{\w{surjektiv}}, falls Bild$(f) = Y$}$\\*
\hspace*{5mm}$\dots \T{\emph{\w{injektiv}}, falls aus $f(x_1) = f(x_2)$ folgt $x_1 = x_2$}$\\*
\hspace*{5mm}$\dots \T{\emph{\w{bijektiv}}, falls $f$ surjektiv und injektiv ist}$

\[ f \T{ ist bijektiv } \Leftrightarrow f^{-1}\T{ ist bijektiv }\]

\subsec{Monotonie}
$f$ heißt \w{streng monoton}\i{monoton wachsend} wachsend $\uparrow$, falls 
\[ \q{\T{aus} \quad x_1 < x_2\quad \T{folgt}\quad f(x_1) < f(x_2)} \]
\[ f \uparrow \Leftrightarrow f^{-1} \uparrow \qquad \quad f \downarrow \Leftrightarrow f^{-1} \downarrow\]

Analog für \w{monoton fallend} $\downarrow$:\\
{\scriptsize Weglassen von \emph{streng} $\Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)$ }

%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{Reelle Zahlen!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{Reelle Zahlen}
Die Menge $\R$ heißt die Menge der reellen Zahlen, falls folgendes gilt:
\subsec{innere Verknüpfungen}
Es gibt zwei innere Verknüpfungen ($+$, $\mal$) mit
\begin{description}
 \item[$(\R, +):$] abelsche Gruppe mit neutralem Element $0$ und inversem Element inv$(a)=-a$
 \item[$(\R \setminus\{0\}, \mal):$] abelsche Gruppe mit neutralem Element $1$ und inversem Element inv$(a)=a^{-1}=\frac{1}{a}$
\end{description}
Und es gilt das \w{Distributivgesetz}: $a\mal(b+c) = a\mal b+a\mal c$
\[ \Rightarrow (\R,+,\mal) \T{ ist ein \w{Körper}} \]
\subsec{Anordnung}\i{Ordnung in \R}
\begin{itemize}
 \item $\forall a \in \R$ gilt genau eine der folgenden Aussagen: \[ a > 0 \qquad -a > 0 \qquad a = 0 \]
 \item Aus $a>0$, $b>0$ folgt $(a+b)>0$ und $(a\mal b)>0$
\end{itemize}

\subsec{Beschränktheit}
\begin{itemize}
\item Eine Menge $M$ heißt nach oben (unten) beschränkt, wenn ein Schranke $S$ existiert, für das gilt:
  \[ x \le S \ \forall x\in M \qquad (x \ge S)\]
\item Eine Menge heißt beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist.
\item Eine Funktion heißt \w{beschränkt}, wenn ihr Bild beschränkt ist.
\end{itemize}

\subsec{Maximum {\scriptsize (Minimum analog)}}
\i{Minimum}
\[ m \T{ ist Maximum von $M$} \Longleftrightarrow  (m \in M) \bAnd (x \le m \ \forall x\in M) \]
\[ \min(M) = -\max(-M) \]

\subsec{Supremum {\scriptsize (Infinium analog)}}
\i{Infinium}
Das Supremum einer Menge ist die kleinste obere Schranke:
\[ M \le \sup(M) \qquad M \le s \Rightarrow \sup(M) \le s \ \ \forall s\]
\[ \inf(M) = -\sup	(-M) \]

\subsec{Vollständigkeitsaxiom in \R}
Jede nichtleere nach oben beschränkte Menge $M\subset \R$ besitzt ein \w{Supremum}\i{Infinium}.

\hfill Dies gilt \emph{nicht} in \Q.\hfill~\[M = \{x \in \Q|x>0, x^2< 2\} \qquad \sup(M) = \sqrt{2} \not\in\Q\]

\subsec{Dichte von \Q{} und \R}
\[ x,y\in \R \T{ mit } x < y \]
\[ \Rightarrow \exists\, q \in \Q \T{ mit } x < q < y \qquad \exists\,r\in \R \setminus \Q \T{ mit } x < r < y\]

%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{Vollständige Induktion!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{Vollständige Induktion}
\[M \subset \R \T{ heißt \w{induktiv}} \Leftrightarrow (1\in M) \bAnd (x\in M \rightarrow x+1\in M)\]


\[ {\bigcap_{\T{\scriptsize$\begin{matrix}
				\T{$M$ ist}\\
				\T{induktiv}
             \end{matrix}$}}
 M} = \N \]

\subsec{Bernoullische Ungleichung}
\[ \T{Vorraussetzung: } x\ge -1 \quad n \in \N \]
\[\q{(1+x)^n \ge 1+n\mal x}\]

\subsec{Geometrische Reihe}
\[ \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \qquad q\neq 1 \]

\subsec{Binomialkoeffizienten}
\[n \in \N \quad  k\in \N_0 \quad \alpha \in \R \]
\[\q{{n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}} \qquad       k \cdot {n \choose k} = n \cdot {n-1 \choose k-1}\]
\[{n\choose n-k} = {n\choose k} \qquad    \q{{n+1 \choose k+1} = {n \choose k} + {n \choose k+1}}\]
\[\q{{\alpha \choose k} = \frac{\overbrace{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)}^{\T{$k$ Terme}}} {k!}} \qquad \sum_{k=0}^n {n \choose k} = 	2^n\]

%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{Beträge!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{Beträge}
\subsec{Dreiecksungleichung}
\[\q{ 0 \le \left| |x|-|y| \rule{0cm}{3.21mm} \right| \le \left| x\pm y\right| \le |x|+|y|}\]
\[ x,y \in \R,\C, \R^n, \C^n\]

\subsec{Umgebung}
\[ \q{ U_\varepsilon(a) := \{ x \left| \rule{0cm}{3.21mm}|x-a| < \varepsilon \right\}} \qquad \varepsilon > 0\]
\[ \Rightarrow U_\varepsilon(a) =  \left	\{ x\,|\, \rule{0cm}{3.21mm} a-\varepsilon \le x \le a + \varepsilon \right\} \]

\subsec{GAM-Ungleichung}
\[ \q{\bar{x}_\mathrm{geom} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} \le \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n{x_i} = \bar{x}_\mathrm{arithm}} \]

\subsec{Schwarz'sche Ungleichung}
    \[ \q{\sum_i \left|x_i \cdot y_i \right| \leq \sqrt{\sum_i x_i^2} \cdot \sqrt{\sum_i y_i^2} } \qquad a_i,b_i\in \R\]
Für ein \w{Skalarprodukt} 	$\langle \mal , \mal \rangle$:
\[     \left|\langle x,y \rangle\right|^2 \leq \langle x, x\rangle \cdot \langle y,y\rangle \]

%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{Komplexe Zahlen!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{Komplexe Zahlen \C}
Einführung: $i$ als eine Lösung der Gleichung $x^2+1=0$. Die Körperaxiome aus \R{} werden dadurch nicht verletzt.\\

\w{Komplex konjugiert}\i{konjugiert}: $\overline{z} = z^* = \Re(z) - \Im(z)$

\subsec{Binomische Formel}
\[ |w\pm z|^2 = |w|^2\pm 2 \Re(z\overline{w}) + |z|^2 \]
\[\T{\w{Betrag einer komplexen Zahl:}} \quad |z|^2=z\mal\overline{z} \]

\subsec{Polardarstellung}

\[ z = r\mal e^{i\varphi} = r \mal (\cos(\varphi) + i\sin(\varphi)) \]
\[ \T{Betrag $r$} \qquad \T{Argument $\varphi$} \]

\subsec{Wurzel}
\[ (n\in \N): \q{\sqrt[n]{r\mal e^{i\varphi}} = \sqrt[n]{r}\mal e^{i\frac{1}{n}(\varphi + 2k\pi)}} \quad k=0,...\,,n-1\]

\subsec{Fundamentalsatz der Algebra}
Jedes komplexe nicht konstante Polynom besitzt eine komplexe Nullstelle.

\subsec[Unordung in \C]{(Un-)Ordnung in \C}\i{Ordnung in \C{} existiert nicht}
\i{Ungleichungen}
Der Körper $\C$ ist nicht geordnet. D.h. es gibt keine Ungleichungsrelation $<$ bzw. $>$ wie im Körper \R.

%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{Vektorrechnung!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{Vektorrechnung}
\subsec{Vektorraum}
$V$ heißt komplexer (reeller) Vektorraum (VR), wenn:
\begin{enumerate}
 \item $\exists\ \T{Verknüfung "`+"'}: (V,+) \T{ ist abelsche Gruppe}$
 \item $\exists\ \T{assoziative, distributive Vorschrift "`$\mal$"'}:$\\*$\alpha \mal x \T{ ist eindeutig und } 1\mal x = x \quad \forall \alpha\in\C(\R), x\in V$
\end{enumerate}
Die Lösungsmenge von lineare homogenen Gleichungssystemen sind reelle Vektorräume:
\[ 0 = A \vec{x} \qquad \T{oder auch:} \quad \vec{y}' = A(x) \vec{y}\]

\subsec{Norm}
$V$ sei ein $\mathbb{K}$-VK. $\|\cdot\|: V\to\R_+\cup \{0\}$ heißt Norm, wenn %für alle Vektoren x,y\in V und alle Skalare \alpha\in\Bbb K die folgenden axiomatischen Bedingungen erfüllt sind:
\begin{enumerate}
 \item $\|x\| > 0 \;\Leftrightarrow\; x \neq 0$ \hfill (positive Definitheit)
 \item $\|\alpha\cdot x\| = |\alpha|\cdot\|x\|$ \hfill(Homogenität)
 \item $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$ \hfill(die Dreiecksungleichung)
\end{enumerate}
\[\forall\ x,y\in V \qquad \forall\ 	\alpha\in\mathbb K\]

Ein VR mit einer Norm heißt normierter (Vektor-)Raum.

\subsec{Skalarprodukt}
Ein komplexes Skalarprodukt $\langle\mal,\mal\rangle: V\kreuz V \to \C$ eines VR~$V$ ist durch folgende Axiome festgelegt:
\begin{itemize}
 \item $\langle\lambda u + v, w\rangle = \lambda \langle u,w\rangle + \langle v,w\rangle$
 \item $\langle u,w\rangle = \overline{\langle w,u\rangle}$ \hfill $\forall \lambda\in\C, \ \forall u,v,w\in V$
 \item $\langle u,u\rangle > 0$ für $u\neq 0$
\end{itemize}

Ein komplexer (reeller) VR mit Skalarprodukt heißt \w{unitär} (\w{euklidisch}). \quad {\small Für ein reelles Skalarprodukt entfällt die komplexe Konjugation, woraus sich eine Symmetriebedingung ergibt.

}


\subsec{orthogonale Projektion}
\[ P_{\vec x}(\vec y ) := \frac{\left(\vec x \mal \vec y\right)}{\|\vec x\|^2} \mal \vec x\]
\[\T{heißt \emph{orthogonale Projektion} bon $\vec y$ auf die Richtung $\vec x$} \]

Projeziert man auf Ebenen, so müssen die Richtungsvektoren der Ebene bereits orthogonal zu einander sein.

\subsec{Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren}
Aus den Vektoren $\vec{a}_i$ kann man orthogonale Vektoren $\vec b_i$ gewinnen:
    \[ \vec b_1 = \vec a_1 \]
	\[   \q{\vec b_n = \vec a_n - \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\langle a_n, b_i\rangle}{\langle b_i, b_i\rangle} \, b_i} \]

\subsec{Hesse Normalform}
$\vec r$  beschreibe Punkte einer Ebene $E$
\[ \q{\vec r \cdot \vec n_0 - d = 0} \qquad d \ge 0 \]
Mit dem normierten Normalenvektor $\vec n_0$ von $E$, welcher vom Koordinatenursprung zur Ebene zeigt.

Setzt man einen beliebigen Punkt in $\vec r$ ein, so erhält man seinen \w{Abstand zur Ebene}.

\subsec{Vektoridentitäten}
\w{Graßmann-Identität} (\w{bac-cab}):
\[\q{\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = \vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b}) } \]

\w{Jacobi-Identität}:
\[ \q{\vec{a}\times (\vec{b}\times\vec{c}) +\vec{b}\times (\vec{c}\times\vec{a}) +\vec{c}\times (\vec{a}\times\vec{b}) =\vec{0} }\]

\w{Lagrange-Identität}:
 \[ \q{(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times\vec{d}) = (\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{d}) - (\vec{b}\cdot\vec{c})(\vec{a}\cdot\vec{d}) }\]


%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{Folgen!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{Folgen}
\subsec{Beschränktheit}
Eine komplexe Folge $a_n$ heißt beschränkt
\[ \Leftrightarrow \ \exists\ S\in \R:\ |a_n| \le S \ \forall n \]

\subsec{Häufungspunkt}
$c\in \C$ heißt Häufungspunkt, wenn für jedes $\varepsilon > 0$ für unendliche viele $n\in \N$ gilt:
\hfill $|a_n-c|<\varepsilon$ \hfill~\\*

Unbeschränkte Folgen besitzen den Häufungspunkt $(\pm) \infty$

\subsec{Satz von Bolzano-Weierstrass}
\[\q{\T{Jede komplexe Folge besitzt einen Häufungspunkt!}}\]
\[\T{Nur 1 Häufungspunkt $\Rightarrow$ Grenzwert (Folge ist konvergent)}\]
\[\T{Eine monotone beschränkte Folge ist konvergent}\]

\subsec{Rechnen mit Grenzwerten}\label{RechnenGrenzwerten}
\i{Grenzwerte}
Die 2 Folgen $a_n$, $b_n$ konvergieren gegen $a$, $b$. Dann gilt:
\[ a_n\pm b_n \rightarrow a\pm b \qquad \quad  a_n\mal b_n \rightarrow a\mal b\]
\[ \frac{a_n}{b_n} \rightarrow \frac{a}{b} \ (b \neq 0) \quad \qquad f(a_n)\rightarrow f(a) \ \T{ $f$ stetig}\]

\subsec{Leibniz-Kriterium}
\[ \T{Vorr.:}\quad a_n > 0 \quad a_n \T { monoton fallend} \quad \lim_{n\to\infty} a_n = 0 \]
\[ \Rightarrow \sum_{n}^\infty (-1)^n a_n \quad\T{ist konvergent} \]

\[\T{Allgemein:  } \sum_{n}^\infty a_n \T{ ist konvergent } \Rightarrow \ \lim_{n\to\infty} a_n = 0 \]

\subsec[Quetsch-Lemma]{"`Quetsch"'-Lemma}
\[\T{Die Folgen $a_n$/$b_n$ seien monoton wachsend/fallend} \]
\[\T{mit $a_n\le b_n$ und $\lim_{n\to\infty} b_n-a_n = 0$}\]
\[\Rightarrow \exists!\ x\in\R \T{ mit } a_n\le x \le b_n \forall n \T{ und} \lim_{n\to\infty} a_n = x = \lim_{n\to\infty} b_n\]

\subsec{Eulersche Zahl $e$}
\[ \q{\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\]

\subsec{Cauchy-Folge}\label{CauchyFolge}
Eine Folge $a_n$ heißt Cauchyfolge, wenn es zu jedem $\varepsilon>0$ einen Index $N$ gibt, so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als $\varepsilon$ voneinander entfernt sind:
\[ \forall \varepsilon>0 : \exists\ N\in\mathbb{N}: \forall m,n \ge N: \;\left|a_m-a_n \right|<\varepsilon \]

In vollständigen Räumen konvergieren alle Cauchyfolgen.\\*
Konvegiert eine Folge, so ist es eine Cauchyfolge.

%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{Reihen!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{Reihen}
Für Reihen gilt sinngemäß der Satz über Cauchy-Folge (\ref{CauchyFolge}) und das Rechnen mit Grenzwerten (\ref{RechnenGrenzwerten}).

\subsec{Absolute Konvergenz}
\[\T{$\sum_{n}^\infty a_n$ {absolut konvergent}} \Leftrightarrow \T{$\sum_{n}^\infty |a_n|$ konvergiert} \]

Diese Reihen sind unempfindlich gegen Umordnung.\\*
{\scriptsize( I.A. gilt weder das Kommutativ- noch das Assoziativgesetz bei Reihen)}

\subsec{Majorantenkriterium}
\[{|a_n|\le c_n \forall n \T{ und } \sum_{n}^\infty c_n \T { ist konvergent} }\]
\[\Rightarrow  \sum_{n}^\infty a_n \T { ist absolut konvergent} \]

\w{Minorantenkriterium} analog für Divergenz.

\subsec{Cauchy-Produkt}
Das Cauchy-Produkt zweier absolut konvegenten Reihen konvergiert absolut:

\[ \q{\sum_{n=0}^\infty a_n \mal \sum_{n=0}^\infty b_n = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n {a_{k} b_{n-k}}} \]

{\scriptsize Der Grenzwert des Cauchyprodukt ist gleich dem Produkt der Grenzwerte.\vspace{1mm}

Ist nur eine der Reihen absolut konvergent, konvergiert das Produkt i.A. nicht mehr absolut. Konvergieren beide Reihen nicht absolut, so muss das Produkt nicht konvergieren.

}

\subsec{Wurzel-/ Quotientenkriterium}
Man betrachte die Reihe $\sum\limits_{n}^\infty a_n$ als Potenzreihe $\sum\limits_{n}^\infty a_n x^n$ und untersuche, ob diese Potenzreihe für $x=1$ konvergiert.\\*
{\small (vgl. Konvergenzradius: \ref{Konvergenzradius})}

%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{Exponentialfunktion!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{Exponentialfunktion}
\[ \q{\exp(z) := \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}} \T{ konvergiert absolut } \forall z\in \C\]

$\exp$ ist stetig in jeden $z\in \C$.

%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{Stetigkeit!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{Stetigkeit}
\subsec{Grenzwerte bei Funktionen}
\[ \lim_{x\to a} f(x) := \lim_{n\to\infty} f(x_n) \quad \T{für bel. Folge mit $\lim_{n\to\infty} x_n = a$} \]
\[ \T{\small Ist dies nicht eindeutig, existiert der Grenzwert nicht!}\]
\subsec{Stetigkeit}
\[\T{$f$ heißt stetig in $a$, falls $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$}\]
$f$ heißt stetig in einem Intervall $I$, falls $f$ stetig in $a \ \forall a \in I$.\\

$f$, $g$ stetig $\Rightarrow f+g, f\mal g, \lambda f, \frac{f}{g} (g\neq 0), f\circ g$ stetig \hfill $\lambda = \const$

Der Vektorraum der $k$-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf dem Intervall $I$ heißt\i{C@$\Cstet^k$} $\Cstet^k(I)$.

\subsec[epsilon-delta-Definition]{$\varepsilon$-$\delta$-Definition}
$f$ ist in $a$ stetig, genau dann wenn:
\[ \q{\forall \varepsilon>0: \exists \delta >0: \left(\rule{0cm}{4mm}|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon\right)} \]

\subsec{Umkehrfunktionen}
\[ f \T{ stetig } \Rightarrow f^{-1} \T{ stetig } \qquad \T{({\small sofern $f^{-1}$ existiert})}\]


\subsec{Zwischenwertsatz}
\[ f\in \Cstet^0([a,b]) \quad c\in[f(a),f(b)] \]
\[ \Rightarrow x_0\in[a,b] \T{ mit } f(x_0) = c \]

\subsec{Beschränktheit}
Auf einem geschlossenen beschränkten Intervall ist jede stetige Funktion beschränkt und besitzt \i{Maximum} Maxi- und \w{Minimum}.

%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{Funktionenfolgen!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{Funktionenfolgen}
\subsec{Punktweise Konvergenz}
Eine Funktionenfolge $f_n$ konvergiert punktweise in $z$, falls die Grenzfunktion $\q{f(z):=\lim\limits_{n\to\infty} f_n(z)}$ konvergiert.\\*

Sie konvergiert punktweise in einem Intervall $I$, falls sie für alle $z\in I$ konvergiert.

\subsec{Gleichmäßige Konvergenz}
$f_n$ konvergiert gleichmäßig auf $I$ gegen $f$, falls 
\[ \q{\lim_{n\to\infty} \|f_n-f\|_\infty = 0}\]
\[ \|f_1-f_2\|_\infty :=\sup\left(\rule{0cm}{3.25mm}\left|f_1(x)-\rule{0cm}{3.21mm}f_2(x)\right|\right) \qquad x\in I\]

\subsec{Majorantenkriterium}
\[{|f_n(z)|\le c_n \forall n, \forall z\in I \T{ und } \sum_{n}^\infty c_n \T { ist konvergent} }\]
\[\Rightarrow  \sum_{n}^\infty f_j(z) \T { konvergiert gleichmäßig auf $I$} \]

\subsec{Konvergenzradius $r$}\label{Konvergenzradius}
Konv.-radius $r$ einer Potenzreihe $P(z) = \sum\limits_{k=0}^\infty a_k (z-z_0)^k$.
\begin{description}
 \item[$r=0$:] $P$ konvergiert nur in $z=z_0$
 \item[$r>0\ (r=\infty)$:] $P$ konvergiert absolut für $|z-z_0|<r$\\*
	$P$ konvergiert gleichmäßig für $|z-z_0|\le\rho$ (mit $\rho < r$)\\*
	$P$ divergiert für $|z-z_0| > r$
\end{description}

Für $|z-z_0|=r$ kann nur die Aussage gemacht werden, dass bis dort Konvergenz und ab dort Divergenz herscht!

\subsec{Wurzelkritierium}
\[ \q{r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} } \qquad \T{\small $\frac{1}{\infty} = 0 \quad \frac{1}{0} = \infty$}\]

\subsec{Quotientenkritierium}
\[ \q{r = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|}\]
\[ \T{Achtung:\quad $a_n\neq 0\,\forall n\ $ und Grenzwert muss eindeutig sein}\]

\subsec[Geometrisches Kriterium]{"`Geometrisches Kriterium"'}
Schreibt man eine Funktion in die Form $\frac{1}{1-x}$ und entwickelt über die geometrische Reihe die Potenzreihe, so erhält man den Konvergenzradius aus $|x|<1$.

\subsec{Identitätssatz}
Sind die Potenzreihen von $f$ und $g$ gleich, so sind auch $f$ und $g$ gleich. (Und umgekehrt!)

%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{Elementare Funktionen!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{Elementare Funktionen}
\subsec{Landau-Symbole}
\[ f(x)=o(g(x))\T{ für }x\to x_0 \Longleftrightarrow \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \]
\[ f(x)=O(g(x))\T{ für }x\to x_0 \Longleftrightarrow \limsup_{x\to x_0} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < \infty \]

%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{Differenzialrechnung!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{Differenzialrechnung einer Variablen in \R}
\subsec{Definition}
$f$ heißt in $x_0$ \w{diff'bar}, falls der folgende Grenzwert existiert:
\[ \q{f'(x_0) := \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}} \]

\subsec{Definition mit Fehlerterm}
\[\T{$f$ ist in $x_0$ diff'bar $\Leftrightarrow \exists\ r$ stetig in $x_0$ mit $r(x_0) = 0$} \]
\[ \q{f(x) = f(x_0) + L(x - x_0) + r(x)(x - x_0) \ \ \forall x} \]
\[\T{$L$ ist dann die Ableitung in $x_0$}\qquad (L=\const)\]

\subsec{Stetigkeit}
Ist $f$ diff'bar, so ist $f$ stetig. (Die Umkehrung ist falsch!)

\subsec{Umkehrfunktion}
\[f \T{ ist stetig, bijektiv } \Rightarrow \exists\ g:=f^{-1}\]
\[ g'(x_0) = \frac{1}{f'(g(x_0))} \qquad \T{falls $f'\neq 0$ dort existiert} \]

\subsec{Mittelwertsatz der DR}\i{MWSDR}
\[ g,f\in\Cstet^0([a,b]) \T{ und innerhalb diff'bar} \Rightarrow \exists\ x_0\in(a,b):\]
\[ \q{\left[f(b)-\rule{0cm}{3.25mm}f(a)\right]g'(x_0)=f'(x_0)\left[g(b)-\rule{0cm}{3.25mm}g(a)\right]}\]
\[ \T{für $g(x)=x$:} \qquad \q{f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\]

\subsec{Taylorpolynom von $f(x)$ in $x_0$}
\[ \q{T_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k }\]
\[ f(x) = T_n(x) + R_n(x-x_0) \quad f(x_0+h) = T_n(x_0+h) + R_n(h)\]
\[ \q{\Rightarrow \exists \vartheta \in (0,1): R_n(h) = \frac{1}{(n+1)!} f^{(n+1)}(x_0+\vartheta h)\mal h^{n+1} }\]

\subsec{Extrempunkte, Wendepunkte}
\i{Wendepunkte}
\[\T{Ist $f^{(n)}(x_0)$ die erste nicht-verschwindende  }\]
\[\T{Ableitung in $x_0$ mit $n \ge 2$, so liegt bei $n$
$\begin{matrix}
  \T{gerade}\\
  \T{ungerade}
 \end{matrix}$
}
\]
\[\T{ im Punkt $x_0$ 	ein\ \ 
$\begin{matrix}
  \T{Extrempunkt}\\
  \T{Wendepunkt	}
 \end{matrix}$\ \ 
vor.}
\]

\subsec{Potenzreihen}
Ableitungen von absolut konvergenten Reihen können gliedweise gebildet werden.
{\small (Insbesondere alle Potenzreihen innerhalb des Konvergenzradius.)}

\subsec{Regel von L'Hospital}\i{L'Hospital}
\[ \T{Gilt } \lim_{x \to x_0}{f(x)} = 0 \T{ und } \lim_{x \to x_0}{g(x)} = 0 \]
\[ \T{so folgt }\ \q{\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}\,=\,\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}} \T{ ,}\]
\[\T{falls der Grenzwert auf der rechten Seite existiert.}\]

\subsec{Fixpunktsatz von Banach}
\[ I=[a,b] \quad f:I\to I \qquad f\in\Cstet(I) \]
\[ \T{ und } \exists\,q: 0 < q < 1 \T{ mit } |f'(x)|\le q \quad \forall x\in[a,b] \]
Dann gilt:\hfill{\scriptsize ($q$ wird \w{Lipschitz-Konstante} genannt)}
\begin{enumerate}
 \item $\exists!\, \xi \in[a,b] : f(\xi) = \xi$
 \item Die Folge $x_0\in I\T{, }x_{n+1} = f(x_n)$ konvergiert gegen $\xi$.
 \item Es gilt die Fehlerabschätzung:
\[ |\xi - x_n| \underbrace{\le \frac{q}{1-q} |x_n - x_{n-1} | }_{\T{\w{aposteriori}}} \underbrace{\le \frac{q^n}{1-q} |x_1 - x_0|}_{\T{\w{apriori}}} \]
\end{enumerate}



%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{Integralrechnung!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{Integralrechnung einer Variablen in \R}
\subsec{Definition}
Wenn Unter- und Obersummen über $[a,b]$ gegen denselben Wert $s$ konvergieren, so existiert das Integral $s=:\int\limits_a^bf(x)dx$

\subsec{Integrierbarkeit}
$f$ monoton oder stetig auf $[a,b] \Leftrightarrow$ das Integral $\int\limits_a^bf$ existiert

\subsec{Zerlegungen}
\[ \int_a^bf(x)dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f\left	(a+k\frac{b-a}{n}\right)\frac{b-a}{n} \]

%\subsec{Integrale über stückweise Stetige Funktionen}
%Integral über stückweise stetige Funktionen,
%Eigenschaften von Integralen

\subsec{Mittelwertsatz der IR}\i{MWSIR}
\[ g,f\in\Cstet^0([a,b]) \quad f(x)\ge 0 \quad a\le x\le b \quad \Rightarrow \exists\ \xi\in(a,b):\]
\[ \q{\int_a^bf(x)g(x)dx = g(\xi)\int_a^bf(x)dx}\]
\[ \T{für $f(x)=1$:} \qquad \q{\int_a^bg(x)dx = g(\xi)(b-a)}\]

\subsec{Partielle Integration}
\[\q{\int\limits_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x = \left[f(x)\cdot\rule{0mm}{3.5mm} g(x)\right	]_a^b - \int\limits_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x}\]

\subsec{Gebrochen rationale Funktion}
\[\T{Gesucht ist die Stammfunktion von $\frac{f(x)}{g(x)}$}\]
\begin{description}
 \item[$\T{grad}(f) \ge \T{grad}(g)$:] Führe Polynomdivision mit Rest durch
 \item[$\T{grad}(f) < \T{grad}(g)$:] Berechne alle Nullstellen $x_i$ samt deren Vielfachheiten $n_i$ von $g(x)$. 
\end{description}
\[ \T{$\Rightarrow$ Partialbruchzerlegung: } \frac{f(x)}{g(x)} = \sum_i \left(\sum_{k=1}^{n_i} \frac{c_{i,k}}{(x-x_i)^k}\right) \]
\[ \T{$\Rightarrow$ gliedweises Integrieren der Zerlegung: } \]

\subsec{Potenzreihen}
Integrale von absolut konvergenten Reihen können gliedweise gebildet werden.
{\small (Insbesondere alle Potenzreihen innerhalb des Konvergenzradius.)}

\subsec{Uneigentliche Integrale}
\[ f \T{ definiert auf } [a,b): \int_a^bf(x)dx:=\lim_{\beta\to b-} \int_a^\beta f(x)dx \]
\[ f \T{ def. } [a,b]\setminus\{\gamma\}: \int_a^bf(x)dx:=\int_a^\gamma f(x)dx + \int_\gamma^b f(x)dx\]

\subsec{Majorantenkriterium}
Majoranten- und \w{Minorantenkriterium} analog zu Folgen und Funktionenreihen.

%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{DGL!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{DGL}
\subsec[1. Ordnung (linear)]{Lineare DGL 1. Ordnung}

\[ \q{y' + a(x)y=r(x)} \qquad A := \int a(x) dx \]
\[ y_h = c \mal \exp(-A) \qquad y_s = \exp(-A)\m\int r(x)\mal\exp(+A){dx}\]

\subsec[TdV]{Trennung der Variablen (TdV)}
\[ \q{y' = f(x)g(y)} \]
Das AWP ist \w{eindeutig lösbar}, falls $g(y)\ne 0 \forall y$ im Intervall.
\[ g(y_i) = 0 \quad \Rightarrow \quad y(x) = y_i = \const \quad \T{ist Lösung}\]

\subsec[Aehnlichkeits-DGL@Ähnlichkeits-DGL]{Ähnlichkeits-DGL}
\[ \q{y'=f\left(\frac{y}{x}\right)}\]
\[ \T{Substitution mit $u=\frac{y}{x} \quad \Rightarrow \quad y'=x\mal u'+u=f(u)$}\]

\subsec{Existenz und Eindeutigkeit}
\[\q{y'=f(x,y) \qquad y(x_0) = y_0} \]
\[ f: D\to \mathbb{R} \quad D_\T{offen}\subseteq \mathbb{R}^2 \quad (x_0,y_0) \in D\]
\w{Peano}\i{Satz von Peano}: $f$ stetig in D $\Rightarrow$ AWP lösbar\\*
\w{Picard-Lindelöf}\i{Satz von Picard-Lindelöf}: $f$ und $\dell_y f$ stetig $\Rightarrow$ AWP eindeutig lösbar

\subsec{Picard-Iteration}
Zusätzlich zu Picard-Lindelöf: $y: I \to \mathbb{R}$ stetig diff'bar und $x_0,x\in I$\hfill ({\scriptsize Mit Indizes: Iterationsformel; Ohne: Fixpunktgleichung})
\[ y \T{ ist AWP-Lösung} \Leftrightarrow \q{y_{k+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(\xi, y_k(\xi)) d\xi} \]
Interation ergibt zumindest auf Teilintervall eine Lösung

\subsec{Implizite DGL 1. Ordnung}
\label{ImplizitDGLErsterOrdnung}
\[ \q{F(x,y,y') = 0} \]
\begin{enumerate}
 \item Prüfe, ob $y'' = 0$ Lösung ist. $( y = ax+b)$
 \item $y''\ne 0$: Substituire $y = \Chi(t); x = \Psi(t); y' = t$ mit Zusatzgl. $\dot\Chi(t)=t\m\dot\Psi(t)$\\
	({\scriptsize $\dot\Psi(t)\ne 0 \Rightarrow$ Lösung ist  eine Funktion $y(x)$})
\end{enumerate}

\subsec{Implizite DGL 2. Ordnung}
\[ \q{\Phi(y,y',y'') = 0} \]
\begin{enumerate}
 \item Berechne $p(t)$ aus $\Phi(t,p(t),p(t)\dot p(t)) = 0$ wie in \ref{ImplizitDGLErsterOrdnung}\\
	({\scriptsize Anfangswerte können schon bei $p(t)$ berücksichtigt werden})
 \item Berechne $y(x)$ aus $y'(x) = p(y(x))$ mit TdV
\end{enumerate}

\subsec{Exakte DGL}
\label{exakteDGL}
\[\q{P(x,y) dx + Q(x,y)dy = 0}\]
Die DGL heißt exakt, falls $P_y = Q_x$\\
Lösung über $F(x,y)=\const$ mit $F_x = P; F_y = Q; [F_t = 0]$

\subsec{Integrierender Faktor}
{\scriptsize auch: Eulersche Multiplikator; nützlich, um \ref{exakteDGL} exakt zu machen}
\begin{eqnarray*}
\mu=\mu(x) \quad &\Rightarrow& \quad \mu'(x) = \underbrace{\frac{P_y-Q_x}{Q}}_{\T{wenn: $a(x)$}}\mu(x)\\
\mu=\mu(y) \quad &\Rightarrow& \quad \mu'(y) = \underbrace{\frac{Q_x-P_y}{P}}_{\T{wenn: $b(x)$}}\mu(y)\\
\mu=\mu(\varphi(x,y)) &\Rightarrow& \mu'(\varphi) = \underbrace{\frac{Q_x-P_y}{\varphi_y P-\varphi_x Q}}_{\T{wenn: $h(\varphi(x,y))$}}\mu(\varphi)
\end{eqnarray*}

\subsec{Bernoulli-DGL}
\[ \q{y'+p(x)y=q(x) y^\alpha} \]
\[\T{Integrierender Faktor $\mu(x) = \exp\int^x p(t)dt$}\]
Und erkennen, dass links dann $(\mu(x)y(x))'$ steht.

\subsec{Eulersche DGL}
\[ \q{x^2y''+axy'+by=f(x)} \qquad a,b=\const \quad (x<>0)\]
\[\T{Substitution mit $x = \pm e^t \qquad u(t)=y(x)$}\]
\[ \Rightarrow xy' = \dot u \qquad x^2y'' = \ddot{u}-\dot u \]

\subsec{Riccati-DGL}
\[ \q{y'+f(x)y=r(x)+g(x)y^2} \T{ mit bekannter Lösung $v(x)$}\]
\[\T{Substitution mit $y=v+\frac{1}{u} \qquad y'=v'-\frac{u'}{u^2}$}\]
\[ \T{ergibt lineare DGL: } \q{u'+(2vg-f)u=-g}\]


\subsec[2. Ordnung (linear)]{Lineare DGL 2. Ordnung}
\[\q{y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)}\]
\[y_1(x)\T{ ist Lösung der homogenen Gleichung.}\]
\[ \Rightarrow y_2(x)=v(x)\m y_1(x) \T{ ist spezielle Lösung falls\ \ \ } \]
\[\q{v''(x) + v'(x)\left(\frac{2y_1'(x)}{y_1(x)}+p(x)\right)=\frac{f(x)}{y_1(x)}}\]

Der Lösungsraum $\mathcal L_\T{hommogen} = \mathcal L_0$ ist ein reeller Vektorraum der Dimension 2.

\subsec{Fundamentalsystem}
Eine Basis von $\mathcal L_0$ heißt Fundamentalsystem.

\subsec{Wronski-Determinante}
\[\q{w(x) = \det\left(\begin{matrix}
                  y_1(x) \quad y_2(x)\\y'_1(x) \quad y'_2(x)
                 \end{matrix}
\right)} \quad \T{ist Wronski-Determinante}\]
Mit $y_1$,$y_2\in\mathcal L_0 \quad \Rightarrow \quad w'(x) = -p(x) w(x)$.

\subsec{Potenzreihenansatz}
\[ \q{y(x) = \sum\limits_{j=0}^{\infty} c_j (x-x_0)^j} \]

\subsec{Abgewandelter Potenzreihenansatz}
\[ \q{y(x) = \sum\limits_{j=0}^{\infty} c_j (x-x_0)^{j+\rho}} \qquad c_0 \neq 0 \quad\rho \in \R \]
Bietet sich an, wenn die Koeffizienten singulär in $x_0$ sind.

\subsec{Lemma von Cronwall}\i{Cronwall}
\[ \varphi: [ 0, T>0] \to \R \T{ stetig} \quad \alpha\in\R, \beta \ge 0 \]
\[ \T{Es gelte: } \quad \varphi(t) \le \alpha + \beta \int\limits_0^t \varphi(s) \T{d}s \qquad \forall t\in[0,T] \]
\[ \Rightarrow \T{ Dann gilt: } \quad \varphi(t) \le \alpha\mal e^{\beta t} \]

\subsec{System von DGL erster Ordnung}
\[ \q{\vec{y}' = \vec{F}(x,\vec{y})} \]
Die Sätze von Picard-Lindelöf, Peano, Picard-Iteration etc. gelten entsprechend.

Lineare DGL höhere Ordnung lassen sich immer auf System erster Ordnung zurückführen.

$\Rightarrow$ Lineare DGL 2. Ordnung ist als AWP eindeutig lösbar.

\subsec[Lineare homogenen DGL (System)]{Systeme linearer homogener DGL}
\[ \q{\vec{y}' = A(x) \vec{y}} \qquad \vec{y} \in \R^n\quad A\in\R^{(n,n)}\]
Die Lösungsmenge $\mathcal L_0$ ist $n$-dimensinaler reeller \w{Vektorraum}.

Gibt es Basis $v_k$ des $\R^n$ aus EV von $A$ mit den EW $\lambda_k\in\R$, so ist ein Fundamentalsystem gegeben durch:
\[y_k(x) = v_k e^{\lambda_k x} \qquad k=1,\ldots,n\]

Ist ein Eigenwerte $\lambda$ komplex {\small (und damit gibt es auch den komplex konjugierten Eigenwerte $\overline{\lambda}$)}, so sind
\[ \Re\left( v e^{\lambda x}\right)\ \T{ und }\ \Im\left(v e^{\lambda x} \right)\ \T{ linear unabhängige Lösungen.}\]

Im allgemein Fall gibt es ein FS, bestehend aus Funktionen

\[ \Re\left( e^{\lambda_j x} p_j(x) \right) \qquad \Im\left( e^{\lambda_j x} p_j(x) \right)\]
wobei $p_j$ ein geeignetes Polynom in $x$ mit komplexen Koeffizienten ist.

\subsec{Stabilität}
\formelsammlung{140/141} (Meyberg/Vachenauer HM2)

%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{Fourierreihen!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{Fourierreihen}
\subsec{periodische Funktionen}
$f:\R\to\C$ heißt $p$ periodisch, falls $f(x+p) = f(x)\ \forall\,x\in\R$.

\subsec{Trigonometrische Polynome}
\[ T_N(t) =\sum_{k=-N}^N c_k \, \underbrace{e^{ikt}}_{=:e_k(t)} \qquad N\in\N, t\in\R, c_k\in\C \]
heißt trigonometrisches Polynom des Grades N.

(\w{Trigonometrische Reihe} für $N\to\infty$)

\[ T_N(t)=\sum_{k=-N}^N c_k \, e^{ikt}=c_0 + \sum_{k=1}^N\left(c_k \, e^{ikt}+c_{-k} \, e^{-ikt}\right) \] \[ = c_0 + \sum_{k=1}^N\left((c_k+c_{-k}^{\phantom{i}})\cos kt +i(c_k-c_{-k})\sin kt\right) \]

\[ T_n(t) \in \R \leftrightarrow c_k = \overline{c}_{-k} \ \forall\,k \]

\subsec[2-Pi@2$\pi$-Periodische Funktionen]{$2\pi$-Periodische Funktionen}
$V$ sei die Menge der $2\pi$-periodischen beschränkten Funktionen $f:\R\to\C$, die im Periodenintervall $[-\pi,\pi]$ höchstens endlich viele Unstetigkeiten 1.~Art (=endlicher Sprung) haben.\vspace{1mm}

\hspace*{3mm}$V$ ist ein komplexer Vektorraum, dessen Elemente alle integrierbar sind.

\subsec{Skalarprodukt auf $V$}
\[ f,g\in V \qquad \q{\langle f,g\rangle:= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\overline{g(t)} dt} \]

Damit ist $V$ ein unitärer Vektorraum.
	\[ \langle e_k, e_j \rangle = \delta_{kj} \Rightarrow \T{ Die $e_i(t)$ bilden ein ONS}\]

\subsec{Norm auf $V$}
\[ \q{\|f\|_2 := \sqrt{\langle f, f\rangle} = \sqrt{\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\overline{f(t)} dt}}\]

\subsec{Gleichmäßige Konvergenz}
Konvergiert $\sum\limits_{k=-\infty}^\infty c_k \, e_k(t)$ gleichmäßig auf $[-\pi,\pi]$ gegen $f$, so gilt: $f$ ist stetig, $2\pi$-periodisch und $c_k = \langle f, e_k\rangle$.

\subsec{Fourierreihen}
Fourierkoeffizient: \quad$\hat f(k) := \langle f, e_k\rangle \quad k\in\Z$

Fourierreihe von $f$:\quad $(Ff)(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^\infty \hat f(k) \, e_k(t)$

Fourierreihe konvegiert gleichmäßig $\Rightarrow \ (Ff)(t) = f(t)$.

\subsec{Besselsche Ungleichung}
\[ \T{Für $f\in V$ gilt: } \quad \sum\limits_{k=-\infty}^\infty \left|\hat f(k)\right|^2 \le \left\|f\rule{0cm}{3.2mm}\right\|_2^2\]
\[\T{Gleichheit } \Leftrightarrow \underbrace{\T{ Fourrierreihe von $f$ konvergiert gegen $f$}}_\T{in der $\|\mal\|_2$-Norm}\]

\subsec{Identitätssatz}
Sind die Fourierreihen von $f$ und $g$ gleich, so sind auch $f$ und $g$ gleich. (Und umgekehrt!)

\subsec{Punktweise Konvergenz der Fourierreihe}
Bei Sprungstellen konvergiert die Fourierreihe gegen den Mittelwert aus rechts- und linksseitigem Grenzwert, sofern sowohl eine rechts- und linksseitige Ableitung existiert.\\*{\small (d.h. es gibt nur einen endlicher Sprung)}



%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{Lineare Algebra!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{Lineare Algebra}

\subsec{Schreibweisen}
Lin$(v_1,...,v_k) = \T{span}(v_1,...,v_k) = [v_1,...,v_k	] := $ \\\hspace*{1mm} \hfill Menge aller Linearkombinationen aus $v_1,...,v_k$\\*[-2mm]

ONS: Orthonormalsystem\i{ONS = Orthonormalsystem}

\subsec{Gruppen}
Ein Paar $(G,\circ)$ mit einer Menge $G$ und einer \underline{\emph{inneren}} Verknüpfung $\circ$ heißt Gruppe, falls:
\begin{itemize}
 \item Assoziativität: $(a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c) \qquad \ \forall a,b,c\in G$
 \item Neutrales Element: $\exists e\in G: a\circ e = e\circ a = a \quad \forall a\in G$
 \item Inverses Elem.: $\exists a^{-1} :  a\circ a^{-1} = a^{-1}\circ a = e \quad \forall a\in G$
\end{itemize}
Eine Gruppe heißt \w{abelsch} oder \w{kommutativ}, wenn die Verknüpfung kommutativ ist: \hfill
$ a\circ b = b\circ a \qquad \forall a,b\in G$

Die Inversen und das Neutrale Element sind eindeutig.

\subsec{Basis vom VR V}
$\{v_1,...,v_n\}$ sind Basis von $V$, falls
\begin{enumerate}
 \item $v_1,...,v_n$ linear unabhängig
 \item Lin$(v_1,...,v_k) = V$
\end{enumerate}

Die Darstellung eines beliebigen Vektors als \w{Linearkombination} von Basisvektoren ist eindeutig.

\subsec{Dimension}
Die Dimension eines Vektorraums ist gleich der Mächtigkeit der Basis.

\subsec{Standardbasis}
$\{\vec{e_1},...,\vec{e_n}\}$ heißt Standardbasis oder \w{Kanonische Basis}.

\subsec{Cauchy-Schwarz Ungleichung}
Sei $(V, \langle\mal,\mal\rangle)$ ein unitärer Vektorraum: \hfill $a,b\in V$
\[\q{|\langle a, b\rangle|\le \|a\|\mal\|b\| }\]

\subsec{Lineare Abbildungen}
$V,W$ seien VR. Die Funktion $f:V\to W$ heißt linear, wenn:
\[\q{f(\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2)=\alpha_1 f(v_1)+\alpha_2 f(v_2)}\quad \forall \alpha_i\in\C\quad\forall v_i\in V\]

$\Lin(V,W)$ bezeichnet die Menge aller linearer Funktionen von $V$ nach $W$.

Eine Matrix $A$ kann als lineare Abbildung verstanden werden mit $f(\vec{x})=A\mal\vec{x}$ \hfill($\vec{x}$~hat~eine~Basis)

\subsec{Isomorphismus}
$f\in \Lin(V,W)$ sei bijektiv. Dann ist $f$ ein Isomorphismus und die Vektorräume $V$ und $W$ sind isomorph. (d.h. sie sind von der Struktur her gleich)

\subsec{Matrizen (Schreibweisen)}
\i{Schreibweisen für Matrizen}
\begin{description}
 \item[$\overline{A}$:] Alle Elemente sind komplex konjugiert
 \item[$A^T$:] \w{transponieren}: Die Matrix wird an der Diagonalen gespiegelt.
 \item[$A^*$:] \w{Adjugierte Matrix}: $A^*:=\overline{A}^T = \overline{A^T}$
 \item[$A=A^*$:] Die Matrix heißt \w{hermitsch}.
 \item[$A=A^T$:] Die Matrix heißt \w{symmetrisch}.
 \item[$A=-A^T\in\R^{(m,m)}$:] Die Matrix heißt \w{schiefsymmetrisch}.
 \item[$\det A \neq 0$:] Die Matrix heißt \w{regulär}.
\end{description}

\subsec{Rang einer Matrix}
Der 	Rang einer Matrix bezeichnet die Anzahl der linear unabhängigen Spalten/Zeilen der Matrix.

{\small(Bemerkung: Zeilenrang = Spaltenrang)}

\subsec{Lineare Gleichungssysteme}\i{LGS}
\[ \q{A\vec{x} = \vec{y} \T{ ist lösbar} \Leftrightarrow \vec y\in \T{Bild}(A) \Leftrightarrow \T{rang}(A) = \T{rang}(A,\vec y)} \]

Eindeutig lösbar, falls der Rang von $A$ maximal ist!

\subsec{Transpositionen}
Transpositionen vertauschen zwei Objekte (Zahlen).

\subsec{Permutationen}
$S_n$ ist die Menge aller Permutationen der Zahlen $1,2,...,n$.\\*[-3mm]

Jede Permutationen lässt sich als Produkt von vielen Transpositionen schreiben. Das Vorzeichen der Permutation ist $(-1)^n$, wenn $n$ die Anzahl der Transpositionen ist.

\subsec{Eigenschaften der Determinate}\i{Determinate (Eigenschaften)}
\begin{enumerate}
 \item sie ist multilinear, d.h. linear in jeder Spalte
 \item sie ist alternierend, d.h. das Vertauschen zweier Spalten ändert gerade das Vorzeichen
 \item sie ist normiert, d.h. die Einheitsmatrix hat die Determinante 1
\end{enumerate}

\subsec{Definition der Determinate}\i{Determinate (Definition)}
Nach der \w{Leibniz-Formel} ist die Determinante:
\[ \det A = \sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}\right) \]

\subsec{Laplacescher Entwicklungssatz}
\[\det A = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij} \]
wobei $A_{ij}$ die Untermatrix von $A$ ist, die durch Streichen der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte entsteht.

{\small (Statt über $i$ kann auch über $j$ summiert werden.)}

\subsec{Rechnen mit Determinaten}\i{Determinaten (Rechnen)}
\textbf{Produktregel:}
\[\q{\det(AB) = \det A\cdot \det B} \quad \forall n\times n\T{-Matrizen } A \T{ und } B\T{.}\]

\textbf{Inverse:}
\[ \T{Falls A invertierbar ist, dann ist } \det\left(A^{-1}\right)=\det\left(A\right)^{-1}\T{.}\]

\textbf{Transponierte Matrix:}
Eine Matrix und ihre Transponierte haben dieselbe Determinante.

\subsec{Adjunkte ($\neq$ Adjungierte)}
\[ \q{\left(\T{adj}(A)\rule{0mm}{3.5mm}\right)_{i,j} := (-1)^{j+i} \mal \det{A_{j,i}}} \]
Man beachte, dass die Indizes von $A_{j,i}$ gedreht sind.
\[\q{     A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \,\T{adj} (A) } \]

\subsec{Gramersche Regel}
Falls das Gleichungssystem $A\vec x=\vec y$ eindeutig lösbar ist:
\[ \T{Lösung $\vec{x}$ gegeben durch:} \quad \q{x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}} \qquad \det(A)\neq 0\]
Die Matrix $A_i$ entsteht aus $A$, indem man die $i$-te Spalte durch $\vec{y}$ ersetzt.

\subsec{Orthogonale Matrizen}
$A$ orthogonal $\stackrel{\T{Def.}}{\longleftrightarrow} A^T = A^{-1} \leftrightarrow A^T$ orthogonal $ \leftrightarrow A^{-1}$ orthogonal $ \leftrightarrow$ Spalten bilden ONS $ \leftrightarrow$ Zeilen bilden ONS $\leftrightarrow$ Ist $\vec{b_1},...,\vec{b_n}$ ein ONS, so ist $A\vec{b_1},...,A\vec{b_n}$ ein ONS

\subsec{Eigenwert (Definition)}
$\lambda$ heißt Eigenwert (EW) von $A\in\C^{(n,n)}$, falls die Gleichung \mbox{$A\vec{x} = \lambda\vec{x}$} Lösungen $\vec{x}\neq 0$ besitzt. Diese $\vec{x}$ heißen \w{Eigenvektor} (EV) zum EW $\lambda$.

\[\q{\lambda\T { ist EW von } A \longleftrightarrow \underbrace{\det(A-\lambda E)=0}_\T{Nullstellen des 	\w{charakteristischen Polynom}}}\]

Die Vielfachheit der Nullstelle im charakteristischen Polynom heißt \emph{\w{algebraische Vielfachheit $m$}} des Eigenwertes.
\[\T{Die EV zu verschiedenen EW sind linear unabhängig.}\]

\subsec{Eigenraum}
\[\T{Eigenraum zu $\lambda$: \quad Eig}(\lambda):=\T{Kern}(A-\lambda E) \]
\[ \gamma := \dim \T{Eig}(\lambda) := n - \T{Rang}(A-\lambda E)  \qquad A\in\C^{(n,n)} \]
\[ \T{Mit der \emph{\w{geometrische Vielfachheit $\gamma$}}\i{Vielfachheit}} \]

\subsec[Eigenwert 0]{Der Eigenwert $0$}
\[ A \T{ singulär} \leftrightarrow \exists\ \T{EW } \lambda = 0 \]
\[ A \T{ regulär} \leftrightarrow \lambda \neq 0\ \forall \ \T{EW } \lambda \]

\subsec[aehnliche Matrizen@Ähnliche Matrizen]{Ähnliche Matrizen}\i{aehnlich@ähnlich}
\[\T{$A, B\in\C^{(n,n)}$ heißen \emph{ähnlich}, falls:}\]
\[ \exists \ \T{reguläres } C\in\C^{(n,n)} : B = C^{-1} A C \]

Ähnliche Matrizen besitzen die selbe \w{Spur}, Determinate und EW.

\subsec{Diagonalisierbar}
Ein Matrix $A \in\C^{(n,n)}$ heißt diagonalisierbar, wenn sie zu einer Diagonalmatrix $D$ ähnlich ist.

\[ A \T{ besitze $n$ linear unabh. EV $\vec{v_i}$} \Rightarrow D = C^{-1}AC \]
\[ \T{ mit } C = (\vec{v_1},...,\vec{v_n}) \]

\subsec{Hermitsche Matrizen}
\[ A = A^* \in\C^{(n,n)} \]
\begin{enumerate}
 \item Alle EW sind reell
 \item $A$ hat $n$ orthonormale EV
 \item $A$ ist diagonalisierbar mit einer unitären Matrix $C$
\[ D = C^* A C \qquad \T{da: } C^{-1} = C^* \]
\end{enumerate}

Ist $A$ sogar symmetrisch, so lässt sie sich mit einer orthogonale Matrix $C$ diagonalisieren.
\[\T{\textbf{Wichtig:} Die EV müssen dabei \w{orthonormiert} werden}\]

\subsec{Definitheit von Matrizen}
\[ A\in\R^{(n,n)} \T{, } A = A_1 + A_2 \T{ mit $A_{1(2)}$ (schief-)symmetrisch} \]
Jede reelle Matrix lässt sich in eine symmetrische und eine schiefsymmetrische Teilmatrix aufspalten.

\textbf{$A$ heißt\ldots}
\begin{description}
 \item[\ldots positiv definit,] falls $\vec{x}^TA\vec{x} > 0 \forall\vec{x}\leftrightarrow$ Alle EW positiv
 \item[\ldots positiv semidefinit,] falls $\vec{x}^TA\vec{x} \ge 0 \forall\vec{x}\leftrightarrow$ Alle EW positiv oder Null
 \item[\ldots negativ (semi)definit,] falls $-A$ positiv (semi)definit
 \item[\ldots indefinit,] falls $\exists\vec{u},\vec{v}: \vec{u}^TA\vec{u} > 0 \T{ und } \vec{v}^TA\vec{v} < 0 \leftrightarrow$ Es gibt positive und negative EW 
\end{description}

Da $\vec{x}^TA_2\vec{x} = 0$, falls $A_2$ schiefsymmetrisch ist, \emph{kann} man sich auf den symmetrischen Teil der Matrix beschränken.

Für die Matrix $\left(\begin{matrix} a \quad b\\b \quad c\end{matrix}\right)\in\R^{(2,2)}$  gilt:
\begin{itemize}
 \item positiv definit, falls $a > 0$ und $ac -b^2 > 0$
 \item positiv semidefinit, falls $a+c>0$ und $ac -b^2 = 0$
 \item negativ definit, falls $a < 0$ und $ac -b^2 > 0$
 \item indefinit, falls und $ac -b^2 < 0$
\end{itemize}


\subsec{Quadrik (Kegelschnitte)}
\i{Kegelschnitte}
Die Menge $\{\vec{x}|h(\vec x) = 0\}$ heißt Quadrik, wenn $h:\R^n\to\R;$ $\q{x \mapsto \vec{x}^TA\vec{x} + 2\vec{b}^T\vec x + c}$. Dabei kann $A$ immer als symmetrisch angenommen werden.

\subsec{Transformation (Quadrik)}\i{Quadrik (Transformation)}
Die Funktion $h(\vec x)=\vec{x}^TA\vec{x} + 2\vec{b}^T\vec x + c$ lässt sich durch Transformation $\vec x \mapsto C\vec x + \vec m$ in eine der folgenden Normalformen bringen:
\begin{enumerate}
 \item $h(\vec x) = \vec{x}^TD\vec{x}+c_0$, mit Diagonalmatrix $D$, falls $A$ vollen Rang hat
 \item $h(\vec x) = \vec{x}^TD\vec{x}+2\vec{b_0}^T\vec{x}$, falls $A$ nicht vollen Rang hat
\end{enumerate}

Dies geschieht durch Diagonalisieren der Matrix $A$ mit Hilfe einer orthogonalen Matrix $C$ und anschließendem Verschieben um $\vec{m}$.

\subsec{Formen (Quadrik)}
Man betrachte, die Eigenwerte der Diagonalmatrix (in der Normalform): \formelsammlung{32} (Formel und Hilfen zur HM)


%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{DR mehrerer Variablen!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{DR mehrerer Variablen}\i{Differentialrechnung mehrerer Variablen}

\subsec{offenen Gebiete}
$D\subset\R^n$ heißt offen, falls zu jedem Punkt in $D$ eine Umgebung existiert, die ganz in $D$ liegt.

\subsec{Stetigkeit, Diff'bar}\i{Differenzierbarkeit}
\label{DR:Stetig}
$\vec f$ ist stetig (oder diff'bar), falls jede Komponentenfunktion $f_j$ stetig (oder diff'bar) ist.\\*
(Achtung: Es gibt mehr als zwei Richtungen im $\R^n$)

\subsec{Kurven}
Eine Kurve im $\R^n$ ist eine stetige Funktion $\vec{r}: I\subset \R \to\R^n$\\*
$\vec(r)(I) = \T{Bild}(\vec(r))$ heißt \w{Spur} oder \w{Trajektorie}\\*
Zu einer Kurve gehört immer eine \w{Orientierung}.\\*

Eine Kurve heißt
\begin{description}
 \item[\w{geschlossen},] wenn Anfangspunkt und Endpunkt gleich sind.
 \item[\w{doppelpunktfrei} oder \w{einfach},] wenn sie keine \w{Doppelpunkte} (Punkte, die mehrmals erreicht werden) besitzt.
 \item[\w{Jordankurve} oder \w{einfach geschlossen},] falls sie geschlossen ist, und der Anfangs- und Endpunkt der einzige Doppelpunkt ist.
 \item[\w{glatt} oder \w{regulär},] falls der \w{Tangetialvektor} $\dot{\vec r}(t) \neq 0\ \forall t$
\end{description}

\subsec{Bogenlänge}
Das Supremum der beschränkten Menge aller Sehnenpolygone (der Kurve) heißt Länge $L$ der Kurve. Falls diese Menge beschränkt ist, heißt die Kurve \w{rektifizierbar}. Ist die Menge nicht beschränkt, ist die Länge nicht definiert.
\[\T{Jede $\Cstet^1$-Kurve $\vec r: [a,b] \to \R^n$ {\small$(a,b\neq \pm \infty)$} ist rektifizierbar.}\]
\[ \T{Es gilt:} \quad \q{L(\vec r) := L_b^a(\vec r) := \int_a^b \|\dot{\vec{r}}(t)\|dt}\]

Diese Länge ist unabhängig von der gewählten Darstellung der Kurve. (\w{Umparametrisierung})

\subsec{Richtungsableitung}
\[ f: D_\T{offen} \subset \R^n \to \R \ \T{\small \w{skalares Feld}} \quad \T{\small $\vec x_0 \in D\ \T{fest} \quad \vec{v} \in \R^n\neq 0$}\]
\[ \T{Existiert } \q{(D_{\vec v} f)(\vec x_0) := \lim_{h\to 0} \frac{f(\vec x_0+h\vec v)-f(\vec x_0)}{h}}\T{, so heißt}\]
dieser Limes Richtungsableitung von $f$ in $\vec x_0$ in Richtung $\vec v$.

Für ein Vektorfeld gilt dies komponentenweise (vgl. \ref{DR:Stetig}).

\subsec{partielle Ableitung}
\[ \q{D_j := D_{\vec e_j}} \quad \T{ heißt partielle Ableitung nach} \]
  der $j$-ten Variablen. (Mit dem Standardbassisvektor $\vec e_j$)

\subsec{Jakobi- / Funktionalmatrix $J$} \i{Funktionalmatrix}
\[ \vec{f} : \R^m \to \R^n \]
\[ \q{J_{\vec{f}} = (J\vec{f}) = \frac{\partial(\vec{f_1},...,\vec{f_n})	}{{\partial(\vec{x_1},...,\vec{x_m})}} := \left(D_k f_j \right)_{j,k} \in \R^{(n,m)}} \]

Für $m=n$ heißt \ $\det J_{\vec{f}}$ \ \, \w{Funktionaldeterminante}.

\subsec{Schwarzsche Satz}
Sei $D \subset \mathbb{R}^n$ offen, $f: D \to \mathbb{R}$ zweimal \emph{stetig} partiell differenzierbar, dann gilt:
\[ \q{D_j D_k f = D_k D_j f} \qquad \forall\, j,k\]

\subsec{Nabla-Identitäten}
Für die Vektorfelder $\vec f$ und $\vec g$ gilt:
\[ \vec\nabla\times (\vec\nabla\times \vec f)=\vec\nabla(\vec\nabla \cdot \vec f)-\Delta\vec f \]
\[ \vec\nabla\cdot(\vec f\times\vec g)=\vec g\cdot(\vec\nabla\times\vec f)-\vec f\cdot(\vec\nabla\times\vec g) \]
\[    \vec\nabla(\vec f\cdot\vec g)=(\vec f\cdot\vec\nabla)\vec g+(\vec g\cdot\vec\nabla)\vec f+\vec f\times(\vec\nabla\times\vec g)+\vec g\times(\vec\nabla\times\vec f) \]
\[    \vec\nabla\times (\vec f\times\vec g)=(\vec g\cdot\vec\nabla)\vec f-\vec g(\vec\nabla\cdot\vec f)+\vec f(\vec\nabla\cdot\vec g)-(\vec f\cdot\vec\nabla)\vec g \]

\subsec{Ableitung}
\[\T{$\vec f$ ist in $\vec x_0$ diff'bar $\Leftrightarrow \exists\ \vec R$ stetig in $\vec 0$ mit $\vec{R}(\vec 0) = \vec 0$} \]
\[ \q{\vec{f}(\vec{x}_0 +\vec h) = \vec f(x_0) + \vec{L}(\vec h) + \vec{R}(\vec h)\|\vec h\| \qquad \forall \vec{h}} \]
\[\T{Die Lineare Abbildung $\vec{L}$ heißt \w{Differential} von $\vec f$ in $\vec x_0$}\]

Die $(n,m)$-Matrix, die $\vec L$ bzgl. der Standardbassis zugeordnet ist, wird durch $\vec f'$ bezeichnet. Diese Matrix heißt die Ableitung  von $\vec f$ in $\vec x_0$.
\[ \T{Die \w{Richtungsableitung} lässt sich damit ausdrücken als:} \]
\[ \q{(D_{\vec{v}} \vec{f}) (\vec x) = \vec{f}'(\vec x)\, \vec{v} }\]

\subsec{Stetig vs. Diff'bar}\i{Diff'bar vs. Stetig}
\[\T{Ist $\vec f$ diff'bar, so ist $\vec f$ stetig.}\]
\[\T{Ist $\vec f$ \emph{stetig} partiell diff'bar, so ist $\vec f$ diff'bar.}\]
Aus der Existenz aller Richtungsableitungen in einem Punkt folgt nicht die Stetigkeit in diesem Punkt.

\subsec{Tangentialebenen}\i{implizite Fläche $\rightarrow$ Tangentialebenen}
Die Fläche $F\subset \R^3$ sei implizit durch $f(x,y,z) = c$ gegeben.
($f$ diff'bar, $f'=\nabla f \neq \vec{0}$)

Dann ist die Tangentialebenen an $\vec p$ gegeben durch:
\[ \q{(\vec r - \vec p)^T \nabla f(\vec p) = 0 }\]

\subsec{Taylorformel}
$f: D_\T{offen} \subset \mathbb R^n \to \R$, $f\in \Cstet^k(D)$, \qquad \quad  die partiellen Ableitungen der ($k+1$)-ten Ordnung sollen existieren.

Dann gibt es für alle $x \in D$ ein $\vec z \in S_{x_0,x}$, falls
\[S_{x_0, x}:=\lbrace x_0 + t(x-x_0)|t \in [0,1] \rbrace \subset D\]
\[ \q{f(\vec x)=\underbrace{\sum\limits_{j=0}^{k}\frac{((\vec x-\vec x_0) \nabla)^j f(\vec x_0)}{j!}}_{T_k(f,\vec x_0)(\vec x)}  + \underbrace{\underbrace{\frac{((\vec x-\vec x_0) \nabla)^{k+1}f(\vec z)}{(k+1)!}}_{R_k  = o(\|\vec x - \vec x_0\|^k) \quad (\vec x \to \vec x_0)}}_\T{\w{Fehlerterm}}}  \]

Mit $k=0$ folgt der \w{Mittelwertsatz der Differetialrechnung}.

\subsec{Hesse-Matrix}
Mit der symetrischen Hesse-Matrix $H_f(\vec x_0)$ lässt sich die Taylorformel in 2. Ordnung wie folgt darstellen:
\[ H_f(\vec x_0) = \left(D_l D_k f(\vec x_0)\right)_{l,k=1,...n} \]
\[ \q{f(\vec x) = \begin{matrix}f(\vec x_0) + (\vec x - \vec x_0) \mal \nabla f(\vec x_0)\hfill\\+ \frac{1}{2} (\vec x - \vec x_0)^T H_f(\vec x_0) (\vec x - \vec x_0) + o(\|\vec x - \vec x_0\|^3) \end{matrix}}	 \]

\subsec{Identitätssatz}
Sind die Taylorreihen von $f$ und $g$ gleich, so sind auch $f$ und $g$ gleich. (Und umgekehrt!)

\subsec{stationäre Punkte}\i{kritischer Punkt}
\[\T{Ein Punkt $\vec x_0$ heißt stationär/kritisch} \Longleftrightarrow \nabla f( \vec x_0 ) = 0 \]
\[ \T{({\small $f$ muss natürlich in $\vec x_0$ diff'bar sein.})}\]

\subsec{Extrempunkte, Sattelpunkte} \i{Sattelpunkte}
Die Hessematrix $H_f$ existiere im stationären Punkt $\vec x_0$ und in dessen Umgebung. \hfill  Dann gilt:\hfill~
\begin{description}
 \item[$H_f(\vec x_0)$ positiv definit:] isoliertes Minimum
 \item[$H_f(\vec x_0)$ negativ definit:] isoliertes Maximum
 \item[$H_f(\vec x_0)$ indefinit:] Sattelpunkt
 \item[$H_f(\vec x_0)$ semidefinit:] keine allgemeine Aussage möglich
\end{description}

\subsec{lokale Invertierbarkeit} \i{Invertierbarkeit (lokal)} 
Ist die Jakobimatrix $J_{\vec f}{(\vec x_0)}$ regulär, so ist $\vec f$ in $\vec x_0$ \w{lokal invertierbar}. Für die Ableitung gilt:
\[ \q{{D{\vec{f}}^{-1}}(\vec x_0) = \left[D{\vec f}\left(\vec f^{-1}(\vec x_0)\right)\right]^{-1}} \]

Lokal bedeutet, dass es eine offene Umgebung (im Definitionsraum) gibt, für die das Bild ebenfalls eine offene Umgebung ist.

\subsec{implizite Funktionen}
\[ \vec f(\vec x_0, \vec y_0) = \vec 0 \qquad \partial_{\vec y} f(\vec x_0, \vec y_0) \T{ regulär} \]
Dann ist die Gleichung lokal nach $\vec y$ auflösbar: $\vec y = \vec h(\vec x)$
\[ \q{{D_{\vec{x}}{\vec{h}}}(\vec x) = -\left[\partial_{\vec y} {\vec f}\left(\vec x, \vec h(\vec x)\right)\right]^{-1}\mal \partial_{\vec{x}} {\vec f}\left(\vec x, \vec h(\vec x)\right) } \]

%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{IR mehrerer Variablen!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{IR mehrerer Variablen}\i{Integralrechnung mehrerer Variablen}
\subsec{Einführung}
Im Folgenden sei $G$ ein \w{Gebiet} (offen, zusammenhängend, beschränkt) und $\partial G$ eine positiv orientierte stückweise glatte Randkurve und $\overline{G} = G \cup \partial G$ der \w{Abschluss} von G.

$\vec v$ immer ein \w{Vektorfeld} und $f$,$g$ Skalarfelder und $\gamma$ eine stückweise glatte Kurve.

\subsec{Vertauschung der Integrationsreihenfolge}
\[\T{Sei } f\in \Cstet^0(\overline{G}) \quad \overline{G} = [a,b]\kreuz[c,d] \]
\[ \Rightarrow \ \int\limits_{x=a}^b\int\limits_{y=c}^{d} f(x,y)\,dy\,dx = \int\limits_{y=c}^{d} \int	\limits_{x=a}^b f(x,y)\,dx\,dy \]

\subsec{Gaußscher Satz in der Ebene}
\label{Int:GaussEbene}
$G \in \R^2$ sei durch Schnitte in endliche viele in $x$- und $y$-Richtung projezierbare Gebiete zerlegbar.
\[ \vec v : \overline{G} \to \R^2 \qquad \vec v \in \Cstet^1(G) \cap \Cstet^0(\overline{G}) \]
\[ \Rightarrow \q{\oint\limits_{\partial G} \vec v \mal \vec{\T{d}s} = \iint\limits_G \left(D_1 v_2^{\phantom{1}} - D_2 v_1\right) \T{d}(x,y)   } \] 
\[ \Rightarrow \q{\oint\limits_{\partial G} \left(\vec v \mal \vec{n}\right) \T{d}s= \iint\limits_G \T{div}\,\vec{v}\ \T{d}(x,y)}\] 
\[ \T{$\vec n$: äußerer Normalenvektor} \]

\subsec{Stokesscher Integralsatz in der Ebene}
$G$ und $\vec v$ wie bei Gauß (\ref{Int:GaussEbene}), nur dass $\vec v : \overline{G} \to \R^3$.
\[ \Rightarrow \q{\oint\limits_{\partial G} \vec v \mal \vec{ds} = \iint\limits_G \left(\vec\nabla \kreuz \vec v\right) \mal \vec e_3 \,d(x,y)   } \] 

\subsec[Green'sche Formel (1)]{1. Green'sche Formel}
\[ g,f\in \Cstet^2(G) \cap \Cstet^1(\overline{G}), \vec N \T{ Normalenvektor zu G}, D_{\vec a} g = \vec \nabla g\mal \vec a\]

\[\Rightarrow\q{\int\limits_{\partial G} f \underbrace{D_{\vec N}g}_{\frac{\partial g}{\partial \vec N}} \mathrm{d}s = \int\limits_{G} (f\vec\nabla ^2 g + \vec\nabla f \cdot \vec\nabla  g)\, \mathrm{d}G}\]

\subsec[Green'sche Formel (2)]{2. Green'sche Formel}
$f$ und $g$ vertauschen und die Gleichungen subtrahieren:
\[\Rightarrow\q{\int\limits_{\partial G} f {D_{\vec N}g} - g {D_{\vec N}f}\mathrm{d}s = \int\limits_{G} (f\vec\nabla ^2 g - g\vec\nabla ^2 f)\, \mathrm{d}G}\]

\subsec{Potentialfelder}
$\vec v$ heißt Potentialfeld/\w{Gradientenfeld}/\w{konservatives Feld}, falls es ein diff'bares Skalarfeld $f$ gibt mit:
\[ \q{\vec v = \vec \nabla f} \qquad \T{$f$ heißt dann \w{Potential}}\]
Ein Potential ist bis auf eine additive Konstante eindeutig.

Die Jakobimatrix von eines stetig diff'baren Potentialfeldes ist symmetrisch.

\[ \int\limits_{\gamma(\vec r_0...\vec r_1)} \vec v\mal \vec{ds} = f(\vec r_1) - f(\vec r_0) \]
(1. Hauptsatz für Kurvenintegrale \i{Hauptsatz für Kurvenintegrale (1)})

$\vec v$ ist Potentialfeld $\leftrightarrow$ für je 2 Punkte ist $\int_{\gamma} \vec v\mal \vec{ds}$ unabhängig von der die Punkte verbindende Kurve $\gamma$ $\leftrightarrow$ $\oint_\gamma \vec v \vec{ds} = 0 \,\forall \gamma$

\subsec{einfach zusammenhängend}
Ein Gebiet $G$ heißt einfach-zusammenhängendes Gebiet, falls sich jede einfach geschlossene Kurve innerhalb von $G$ auf einen Punkt stetig zusammenziehen lässt.

\subsec[Hauptsatz für Kurvenintegrale (2)]{2. Hauptsatz für Kurvenintegrale}
Sei $G\subset \R^n$ einfach zusammenhängend und $\vec v: G\to R^n$ ein $\Cstet^1$-Vektorfeld.
\[ \q{\T{$\vec v$ ist Potentialfeld} \quad \Leftrightarrow \quad D_j v_k = D_k v_j \ \forall j,k}\]

\subsec{Normalenvektor}\i{Gradient}
Der Gradient steht immer senkrecht auf den Nivealinien eines Skalarfeldes.

$\Rightarrow \q{\vec \nabla F(\vec x)}$ ist ein (nicht normierter) Normalvektor auf die Fläche, die durch $F(\vec x) = \const$ gegeben ist.

\subsec{Oberflächenintegrale im $\R^3$}
\[ \q{\T{d}\vec{o} = D_1\vec r(u,v)\kreuz D_2\vec r(u,v)\,\T{d}(u,v)}\]
\[ \T{ heißt vektorielles Oberflächenelement} \]
\[ \T{d}o = \|\T{d}\vec{o}\| \T{ heißt skalares Oberflächenelement} \]

\subsec[Variablentransformation (mehrdimensinal)]{mehrdimensinale Variablentransformation}\i{Substitution (mehrdimensional)}
\[\T{Gegeben sei eine Parametertransformation: } \left(\begin{matrix}
   u\\v
  \end{matrix}\right)
=
  \psi\left(
\begin{matrix}
  \xi\\\eta
\end{matrix}
\right) \]

\[ \T{d}(u,v) = \left|\det\left(J_{\vec{\psi}}(\xi,\eta)\right)\right|\T{d}(\xi,\eta) \]

\subsec{Stokesscher Integralsatz}
Sei $F$ eine stückweise glatte, orientierte (!) Fläche.

$\vec v \in \Cstet^1(\overline{G}): \overline{G}\to \R^3$

\[ \Rightarrow\quad \q{ \iint\limits_F \left(\vec \nabla\kreuz \vec v\right) \T{d}\vec{o} = \oint\limits_{\partial F} \vec v\mal \vec{ds}}\]

\subsec{Gaußscher Integralsatz}
$G \in \R^3$ sei durch Schnitte in endliche viele in $x$-, $y$- und $z$-Richtung projezierbare Gebiete zerlegbar. Die Oberflächen $\partial G$ seien stückweise glatt und orientierbar. $\vec N$ seit der nach außen orientierte Normalenvektor.	
\[ \vec v : \overline{G} \to \R^3 \qquad \vec v \in \Cstet^1(\overline{G}) \]
\[ \Rightarrow \q{\oiint\limits_{\partial G} \vec v \mal \vec N\,\T{d}o = \iiint\limits_G \vec \nabla \mal \vec{v}\ \T{d}(x,y,z)   } \] 

%\renewcommand{\i}[1]{\iHelp{Funktionentheorie!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}\iHelp{zzz@Gesamt!#1}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}}
\sec{Funktionentheorie}
\subsec{Stetigkeit}
\[\T{Stetig in $z_0$ $\Leftrightarrow \lim\limits_{z\to z_0} f(z) = f(z_0)$ }\]

\subsec{Komplex diff'bar}
\[\T{Komplex diff'bar in $z_0$ $\Leftrightarrow \lim\limits_{z\to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z-z_0}$ existiert }\]
Dieser Grenzwert heißt komplexe Ableitung $f'(z_0)$.

\subsec{holomorph}
$f$ ist holomorph $\Leftrightarrow$ $f$ ist auf offenen Gebiet definiert und\\*
\hspace*{1mm}\hfill komplex diff'bar\hfill~

Im Folgenden werden praktisch fast nur holomorphe Funktionen behandelt. (Auch wenn's oft nicht dabei steht.)

\subsec{holomorphe Ableitung}
\[\q{\T{$f:D\to\C$ holomorph \quad $\Rightarrow$ \quad  $f': D\to\C$ holomorph}}\]

\subsec{Cauchy-Riemann DGL}
$f(z=x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$ ist komplex diff'bar falls:
\begin{itemize}
 \item $u_x = v_y \quad \T{und} \quad u_y = -v_x$ \qquad \hfill oder \hfill~
 \item $f_x = -i f_y$ oder $f_z = f_x$ oder $f_{\overline{z}} = 0$
\end{itemize}

\subsec{Harmonisch}
\[\T{$f$ ist {harmonisch} $\Leftrightarrow \bigtriangleup f = u_{xx} + u_{yy} + i(v_{xx} + v_{yy}) = 0$}\]

Nach dem Satz von Schwarz folgt für holomorphe Funktionen, dass sie harmonisch sind.

\subsec{Holomorphe Ergänzung}
Ist $D$ offen, einfach zusammenhängend und $u:D\to\R $ harmonisch in $D$, sogibt es eine harmonische Funktion $v: D\to\R$, sodass $f:=u+iv$ in $D$ holomorph ist.
\[ \T{$v$ heißt zu $u$ \w{konjugiert harmonisch}} \]

\subsec{Jacobimatrix}
\[ \left|\det J_f\right| = \left|\det\left(\begin{matrix}
                           u_x \quad u_y\\v_x \quad v_y
                          \end{matrix}
\right)\right| = \left|f'(x+iy)\right|^2 \quad \T{\scriptsize mit $f' = u_x + iv_x$}\]

\subsec{Schlicht}
\[ \T{schlicht} = \T{holomorph} + \T{injektiv} \qquad \T{\small (plakativ!)} \]
\[ g'(x_0) = \frac{1}{f'(g(x_0))} \qquad \T{falls $\,g:=f^{-1}\quad f'\neq 0$} \]
Manchmal nennt man solche Funktionen auch \w{simpel} oder \w{einfach}.

\subsec{Flächeninhalt}
Ist $f$ schlicht, dann ist die Fläche von $f(D)$:
\[ \T{Fläche}(f(D)) = \iint\limits_D \left|f'(x+iy)\right|^2 \T{d}x\T{d}y \]

\subsec{Flächen}
\[\alpha \in\R \qquad S_\alpha := \{ z\in\C: \alpha < \Im z < \alpha + 2\pi \} \]
\[\alpha \in[-\pi,\pi) \qquad E_\alpha := \{ r\mal e^{i\varphi} \in\C: r \in\R_+, \varphi \in ( \alpha, \alpha+2\pi) \} \]
\[E_\alpha\T{ ist die bei $e^{i\alpha}$ geschlitzte Ebene}\]
\[ \T{Kreisscheibe: } K(z_0,r):=\{z\in\C : |z-z_0| < r\}  \]
\[ \T{Kreisring: } A(z_0,r,R):=\{z\in\C : r < |z-z_0| < R \} \]
\[ r,R \in \hat \C \cup \{0\}\]


\subsec{Argument}
\[\T{(Neben)zweig: $\qquad \arg_\alpha: E_\alpha \to (\alpha, \alpha +2\pi)$}\]
\[\T{Hauptzweig: $\qquad \T{Arg} := \arg_{-\pi} : E_{-\pi} \to (-\pi, \pi)$}\]

\subsec{Natürlicher Logarithmus}\i{Logarithmus}
Für (Neben)zweig log und Hauptzweig Log gilt ($k\in\Z$):
\[\log_{k,\alpha}: E_\alpha \to \C \quad \log_{k,\alpha}(z) = \ln|z| + i(\arg_\alpha(z) + 2\pi k)\]
\[\T{Log}: E_{-\pi} \to \C \quad \T{Log} := \log_{0,-\pi} = \ln|z| + i \T{Arg}(z)\]

\subsec{Rechnen}
\[ \exp : \C \to\C\setminus\{0\} \qquad \exp(S_\alpha) = E_\alpha \]
\[ \log_{k,\alpha}(E_\alpha) = S_{\alpha + 2\pi k} \]
\[ \q{\begin{matrix}
	\exp(\log_{k,\alpha}(z)) = z \quad \forall z \in E_\alpha \\
\log_{k,\alpha}(\exp(z)) = z \quad \forall z \in S_{\alpha+2\pi k}
       \end{matrix} }\]
\[ \T{\w{Wurzeln}, \w{Potenzen}: }\  \q{z^a := e^{a\mal \log z}} \quad \T{\small mehrdeutig, falls $a \not\in\R$}\]

\subsec{Verallgemeinerte Kreise}
Verallgemeinerte Kreise werden in \C{} beschrieben durch:
\[ \q{\alpha |z|^2 + \beta z + \overline{\beta z} + \gamma = 0} \qquad \alpha, \gamma \in \R \quad \beta \in \C\quad \alpha\gamma<|\beta|^2\]

\[ \gamma = 0 \Rightarrow \T{ durch 0} \qquad \qquad \alpha = 0 \Rightarrow \T{ Gerade }\]
\[ \alpha \neq 0 \Rightarrow \left|z+\frac{\overline{\beta}}{\alpha}\right|^2 = \frac{|\beta|^2}{\alpha} - \frac{\gamma}{\alpha} \Rightarrow \T{ Kreis} \]

\subsec{Stereographische Projektion}
$ \pi : \hat \C = \C \cup \{\infty\} \to \underbrace{S}_\T{Kugel}$

\[ \pi(z) = \left\{\begin{matrix}\displaystyle
             \left( \frac{2\Re z}{|z|^2+1},\ \frac{2\Im z}{|z|^2+1},\ \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\right) \hspace{7mm}\hfill z\in\C\\[3mm]
				 (0,\,0,\,1) \hfill z = \infty
            \end{matrix}\right.
\]

\[ \pi^{-1}(\xi, \eta,\zeta) = \left\{\begin{matrix}\displaystyle
             \frac{\xi+i\eta}{1-\zeta} \hspace{7mm}\hfill \zeta\neq 1\\[3mm]
				 \infty \hfill \zeta = 1
            \end{matrix}\right.
\]

Verallgemeinerte Kreise in $\hat \C$ gehen auf Kreise in $S$.

\subsec{Konforme Abbildungen}
\[ \T{konform} = \T{holomorph} + f'(z) \neq 0 \ \forall z \qquad \T{\small (plakativ!)} \]
\[ \T{schlicht} \quad \Rightarrow  \quad \T{konform} \quad \Rightarrow \quad \T{\underline{lokal} schlicht}\]

\textbf{konforme Abbildungen\ldots}
\begin{itemize}
 \item sind winkeltreu
\item bilden Gebiete auf Gebiete ab
\item bilden deren Ränder auf Ränder ab
\item sind orientierungstreu
\item $G, H$ seien einfach zusammenhängende Gebiete
\[ \Rightarrow \exists \T{ schlichtes/konformes/bijektives } f:\quad  f(G) = H \]
\end{itemize}

\subsec{Möbiustransformation}
Eine Möbiustransformation ist eine konforme Abbildung:
\[ \q{f(z) = \frac{az+b}{cz+d}} \quad a,b,c,d\in\C \quad ad-bc \neq 0 \]
\[ f(\infty) := \frac{a}{c} \qquad f\left(-\frac{d}{c}\right) := \infty \]

Eine MT erhält das \w{Doppelverhältnis}:
\[ \q{\frac{w_1-w_2}{w_1-w_4} \frac{w_3-w_4}{w_3-w_2} = \frac{z_1-z_2}{z_1-z_4} \frac{z_3-z_4}{z_3-z_2}} \qquad w_k = f(z_k)\]

MT bilden eine Gruppe mit $f = f_1 \circ f_2$.\\*

Jede MT lässt sich als Hintereinanderschaltung von Intertierung, Drehstreckung und Translation darstellen.

\subsec{Kurvenintegrale}
\[ \int\limits_\gamma f(z) \T{d}z = \int\limits_a^b f(\gamma(t)) \dot \gamma(t) \T{d}t = \int\limits_\gamma (u\T{d}x - v\T{d}y) + i(v\T{d}x+u\T{d}y) \]

$\gamma$: Kreis um $a$; $l$-mal mathematisch positiv durchlaufen
\[ \int\limits_\gamma (z-a)^k \T{d}z = \left\{\begin{matrix}
                                              2\pi i \mal l \hspace{8mm} \hfill k = -1\\
															 0 \hfill \T{sonst}
                                             \end{matrix}\right. \]

\subsec{Cauchy Integralsatz}
$G$ sei einfach zusammenhängendes Gebiet\\[1mm]$f: G\to\C$ sei holomorph bis auf endliche viele Punkte, in denen $f$ stetig ist\\[1mm]$\gamma$ sei stückweise stetig diff'bare geschlossenen Kurve in $G$.
\[ \q{\oint\limits_\gamma f(z) \T{d}z = 0} \]

$\Rightarrow$ Es reicht bei geschlossenen Integralen die Integrale um die Singularitäten zu betrachten.

\subsec{Cauchysche Integralformel}
$f$ holomorph auf Gebiet $G$. $\gamma$ eine einfach geschlossene stückweise stetig diff'bare Kurve in $G$.
\[ \q{f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0} \T{d}z} \qquad \forall z_0\in D\]

\subsec{Potenzreihenentwicklung}\label{Potenzreihen}
$f$ holomorph auf Gebiet $G$ mit $K(z_0,r) \in G$. Für jedes $z\in K(z_0,r)$ gilt: \hfill $\rho \in (0,r)$
\[ f(z) = \sum\limits_{k=0}^\infty a_k (z-z_0)^k \qquad a_k = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\T{\scriptsize$\begin{matrix}
                                                                                             |\xi\T{-}z_0|\\=\rho
                                                                                            \end{matrix}$}} \frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{k+1}} \T{d}\xi \]

\subsec{Laurentreihe}
\[ \q{f(z) = \underbrace{\sum\limits_{k=-\infty}^{-1} a_k (z-z_0)^k}_{\T{\w{Hauptteil}}}  + \underbrace{\sum\limits_{k=0}^\infty a_k (z-z_0)^k}_{\T{\w{Nebenteil}}} } \]

\subsec{Konvergenz der Laurentreihe}
\[ \q{R_{\pm} = \frac{1}{\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_{\pm k}|}}} \qquad r_{\pm} = {\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_{\pm k}|}} \]
\[ \T{Hauptteil konvergent für $|z-z_0|^{-1}< R_-$} \quad \T{({\scriptsize$r_- < |z-z_0|$})}\]
\[ \T{Nebenteil konvergent für $|z-z_0|< R_+$}\]
\[ \T{Gesamt konvergent bei $z\in A(z_0,r_-,R_+)$}\]

\subsec{Singularitäten}
$z_0\in \C\setminus G$ heißt \w{isolierte Singularität}, falls eine Umgebung um $z_0$ ganz in $G$ liegt.
\begin{enumerate}
 \item $z_0$ heißt \w{hebbare Singularität}, falls $a_k=0 \ \ \forall k < 0 $
 \item $z_0$ heißt \w{Polstelle der Ordnung $p\in\N$}, falls $a_{-p}\neq 0$ und $a_{-k} = 0\ \ \forall k > p$
 \item $z_0$ heißt \w{wesentliche Singularität}, falls $a_k\neq 0$ für unendliche viele $k < 0$
\end{enumerate}
({\small Für die Bezeichnungen vergleiche ab \ref{Potenzreihen}})

\subsec{Residuum}
Der Laurentkoeffizient $a_{-1}$ heißt Residuum von $f$ in $z_0$.
\[ \q{\T{Res}(f,z_0) := a_{-1}} \]

\subsec{Bestimmung von Residuen}
\begin{enumerate}
 \item Koeffizient $a_{-1}$ der Laurentreihe
 \item $f(z) = \displaystyle\frac{g(z)}{h(z)} \quad g(z_0) \neq 0 \quad h'(z_0) \neq 0 \quad \underbrace{g,h}_{\begin{matrix}
                                                                                                                \T{\scriptsize holom. auf}\\[-1mm]
																																					 \T{\scriptsize $K(z_0,r)$}
                                                                                                               \end{matrix}}$\\[-7mm]
\[ \Rightarrow \q{\T{Res}(f,z_0) =\frac{g(z_0)}{h'(z_0)} } \qquad \qquad \qquad \qquad \]
 \item $z_0$ ist Polstelle der Ordnung $p$:
\[\hspace*{-5mm} \q{\T{Res}(f,z_0) = \frac{1}{(p-1)!} \lim\limits_{z\to z_0} \left(\frac{\T{d}}{\T{d}z}\right)^{p-1} \left[(z-z_0)^p f(z) \rule{0mm}{4mm} \right]}\]
\end{enumerate}


\subsec{Residuensatz}
$f$ holomorph auf $G$ \hfill
$\gamma$ eine "`normale"' Kurve in $\hat G$\\
$\hat G := G \cup \{ z_l \}$\hfill
$z_l$ Singularitäten innerhalb von $\gamma$
\[ \Rightarrow \q{\int\limits_\gamma f(z)\T{d}z = 2\pi i\sum\limits_l \T{Res}(f,z_l)}\]

\vfill
\renewcommand{\i}[1]{\index{#1}}

\pagebreak

% Index soll Stichwortverzeichnis heissen     
\renewcommand{\indexname}{Stichwortverzeichnis}

% Stichwortverzeichnis soll im Inhaltsverzeichnis auftauchen
\addcontentsline{toc}{section}{Stichwortverzeichnis}

% Ein paar Befehle umdefinieren, damit das Stichwortverzeichnis das macht, was ich will!
% Evtl ist das nicht sehr schön (und vielleich sogar in Zukunft nicht erlaubt)
\renewcommand{\onecolumn}[1][]{#1}
\renewcommand{\twocolumn}[1][]{#1}
\renewcommand{\thispagestyle}[1]{}

% Stichwortverzeichnis endgueltig anzeigen
\printindex

%Ich mag es nicht, wenn es drei nicht gefüllte Spalten gibt
\vfill\pagebreak	

\end{multicols}
\end{document}